Неравенства: Решите неравенство log _2((x-2)(4+3... — задача

Разложим квадратный трёхчлен
\[ 4+3x-x^2 = -(x^2-3x-4). \]
Корни уравнения $x^2-3x-4=0$ будут $x_1=-1, x_2=4.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} x_1+x_2=3,\\ x_1\cdot x_2=-4, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $-4$ на два множителя. Сумму $3$ даёт пара $-1$ и $4.$
Проверка:
\[ \begin{cases} -1+4=3,\\ (-1)\cdot 4=-4. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=-1,\\ x_2=4. \end{array} \right. \])
По правилу разложения квадратного трёхчлена на множители получаем:
\[ 4+3x-x^2 =-(x^2-3x-4)=-(x+1)(x-4)=(x+1)(4-x). \]
Запишем ограничения на неравенство:
\[ \begin{cases} (x-2)(4+3 x-x^2) > 0, \\ \dfrac{6-x}{4+3 x-x^2} > 0, \\[1.5ex] x+3 > 0; \end{cases} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} (x-2)(x+1)(x-4) < 0, \\ \dfrac{x-6}{(x+1)(x-4)} > 0, \\[1.5ex] x > -3. \end{cases} \]

Решим первое неравенство методом интервалов:



Решим второе неравенство методом интервалов::



Пересечём решения всех неравенств системы:



Получаем, что
\[ x \in (2;4).\quad (*) \]

Упростим неравенство, используя свойства логарифма. Сумма логарифмов равна логарифму произведения ($\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)$):
\[ -1+\log_2(x+3)=\log_2\dfrac12+\log_2(x+3)=\log_2\dfrac{x+3}{2}. \]
Неравенство принимает вид:
\[ \log_2 \left(\dfrac{(x-2)(x+1)(4-x)(6-x)}{(x+1)(4-x)}\right) \leqslant \log_2 \dfrac{x+3}{2}. \]
Сократим дробь в левой части на $(x+1)(4-x)$, учитывая, что точки $x = -1$ и $x = 4$ не принадлежат $(*)$:
\[ \log_2 \left((x-2)(6-x)\right) \leqslant \log_2 \dfrac{x+3}{2}. \]
Воспользуемся монотонным возрастанием функции $\log_2{t}$:
\[ \left.(x-2)(6-x)\leqslant \dfrac{x+3}{2};\quad\right|\cdot 2 \]
\[ 2(6x-12-x^2+2x)\leqslant x+3; \]
\[ 2x^2 - 15x + 27 \geqslant 0. \]
Разложим квадратный трёхчлен $2x^2 - 15x + 27$ на множители. Корни будут $x_1=3, x_2=\dfrac92.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[ 2x^2 - 15x + 27=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=15^2-4\cdot2\cdot27=225-216=9 = 3^2. \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=\dfrac{15 - 3}{4}=3,\\[2mm] x_2=\dfrac{15 + 3}{4}=\dfrac92. \end{array} \right. \])
Поэтому
\[ 2\left(x - \dfrac{9}{2}\right)(x-3) \geqslant 0. \]

Полученное неравенство решим методом интервалов:



Получаем $x\in (-\infty; 3] \cup [4{,}5; +\infty)$.

С учётом ОДЗ:


\[ x\in(2;3]. \]

Ответ: $(2;3]$.