Неравенства: Решите неравенство 7log_3(x^2-7x+12)⩽... — задача

Найдём ОДЗ неравенства:
\[ \begin{cases} x^2-7x+12>0,\\[1mm] \dfrac{(x-3)^7}{x-4}>0. \end{cases} \]
Разложим квадратный трёхчлен $x^2-7x+12$ на множители. Корни будут $x_1=3, x_2=4.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} x_1+x_2=7,\\ x_1\cdot x_2=12, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $12$ на два множителя. Сумму $7$ даёт пара $3$ и $4.$
Проверка:
\[ \begin{cases} 3+4=7,\\ 3\cdot 4=12. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=3,\\ x_2=4. \end{array} \right. \]) Значит,
$$ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). $$
Получаем
\[ \begin{cases} (x-3)(x-4)>0,\\[1mm] \dfrac{x-3}{x-4}>0. \end{cases} \]
Решим методом интервалов. Оба неравенства дают одинаковое множество решений:



\[ x\in(-\infty;3)\cup(4;+\infty). \]
Множитель $(x-3)^7$ имеет тот же знак, что и $x-3,$ так как степень нечётная. Преобразуем неравенство по свойствам логарифма ($k\log_a b=\log_a b^k$ и $\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)$ при $b>0,$ $c>0$):
\[ 7\log_3\bigl((x-3)(x-4)\bigr)=\log_3\bigl((x-3)^7(x-4)^7\bigr); \]
\[ 8+\log_3\dfrac{(x-3)^7}{x-4}=\log_3 3^8+\log_3\dfrac{(x-3)^7}{x-4}=\log_3\left(3^8\cdot\dfrac{(x-3)^7}{x-4}\right). \]
Получаем:
\[ \log_3\bigl((x-3)^7(x-4)^7\bigr)\leqslant\log_3\left(3^8\cdot\dfrac{(x-3)^7}{x-4}\right). \]
Функция $y=\log_3 t$ монотонно возрастает, так как $3>1,$ поэтому
\[ (x-3)^7(x-4)^7\leqslant 3^8\cdot\dfrac{(x-3)^7}{x-4}. \]
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $(x-3)^7:$
\[ (x-3)^7\left((x-4)^7-\dfrac{3^8}{x-4}\right)\leqslant 0; \]
\[ \dfrac{(x-3)^7\left((x-4)^8-3^8\right)}{x-4}\leqslant 0. \]
Дважды применим формулу разности квадратов ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$):
\[ (x-4)^8-3^8=\left((x-4)^4-3^4\right)\left((x-4)^4+3^4\right); \]
\[ (x-4)^4-3^4=\left((x-4)^2-3^2\right)\left((x-4)^2+3^2\right). \]
Множители $(x-4)^4+3^4$ и $(x-4)^2+3^2$ положительны при любом $x:$
\[ (x-4)^4+3^4 \geqslant 3^4 > 0; \]
\[ (x-4)^2+3^2 \geqslant 3^2 > 0, \]
поэтому мы можем разделить неравенство на эти множители:
\[ \dfrac{(x-3)^7\left((x-4)^2-3^2\right)}{x-4}\leqslant 0. \]

Ещё раз по формуле разности квадратов
\[ (x-4)^2-3^2=(x-4-3)(x-4+3)=(x-7)(x-1), \]
и поэтому неравенство принимает вид
\[ \dfrac{(x-3)^7(x-7)(x-1)}{x-4}\leqslant 0. \]
Решим его методом интервалов:

\[ x\in[1;3)\cup(4;7]. \]
Данное множество полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $[1;3)\cup(4;7].$