Неравенства: Решите неравенство 7log_12(x^2-13x+42)⩽... — задача

Найдём ОДЗ неравенства:
\[ \begin{cases} x^2-13x+42>0,\\[1mm] \dfrac{(x-7)^7}{x-6}>0. \end{cases} \]
Разложим квадратный трёхчлен $x^2-13x+42$ на множители. Корни будут $x_1=6, x_2=7.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} x_1+x_2=13,\\ x_1\cdot x_2=42, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $42$ на два множителя. Сумму $13$ даёт пара $6$ и $7.$
Проверка:
\[ \begin{cases} 6+7=13,\\ 6\cdot 7=42. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} x_1=6,\\ x_2=7. \end{array} \right. \]) Значит,
$$ x^2-13x+42=(x-6)(x-7). $$
Получаем
\[ \begin{cases} (x-6)(x-7)>0,\\[1mm] \dfrac{x-7}{x-6}>0. \end{cases} \]
Решим методом интервалов. Оба неравенства дают одинаковое множество решений:



\[ x\in(-\infty;6)\cup(7;+\infty). \]
Множитель $(x-7)^7$ имеет тот же знак, что и $x-7,$ так как степень нечётная. Преобразуем неравенство по свойствам логарифма ($k\log_a b=\log_a b^k$ и $\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)$ при $b>0,$ $c>0$):
\[ 7\log_{12}\bigl((x-6)(x-7)\bigr)=\log_{12}\bigl((x-6)^7(x-7)^7\bigr); \]
\[ 8+\log_{12}\dfrac{(x-7)^7}{x-6}=\log_{12}12^8+\log_{12}\dfrac{(x-7)^7}{x-6}=\log_{12}\left(12^8\cdot\dfrac{(x-7)^7}{x-6}\right). \]
Получаем:
\[ \log_{12}\bigl((x-6)^7(x-7)^7\bigr)\leqslant\log_{12}\left(12^8\cdot\dfrac{(x-7)^7}{x-6}\right). \]
Функция $y=\log_{12} t$ монотонно возрастает, так как $12>1,$ поэтому
\[ (x-6)^7(x-7)^7\leqslant 12^8\cdot\dfrac{(x-7)^7}{x-6}. \]
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $(x-7)^7:$
\[ (x-7)^7\left((x-6)^7-\dfrac{12^8}{x-6}\right)\leqslant 0; \]
\[ \dfrac{(x-7)^7\left((x-6)^8-12^8\right)}{x-6}\leqslant 0. \]
Дважды применим формулу разности квадратов ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$):
\[ (x-6)^8-12^8=\left((x-6)^4-12^4\right)\left((x-6)^4+12^4\right); \]
\[ (x-6)^4-12^4=\left((x-6)^2-12^2\right)\left((x-6)^2+12^2\right). \]
Множители $(x-6)^4+12^4$ и $(x-6)^2+12^2$ положительны при любом $x:$
\[ (x-6)^4+12^4 \geqslant 12^4 > 0; \]
\[ (x-6)^2+12^2 \geqslant 12^2 > 0, \]
поэтому мы можем разделить неравенство на эти множители:
\[ \dfrac{(x-7)^7\left((x-6)^2-12^2\right)}{x-6}\leqslant 0. \]

Ещё раз по формуле разности квадратов
\[ (x-6)^2-12^2=(x-6-12)(x-6+12)=(x-18)(x+6), \]
и поэтому неравенство принимает вид
\[ \dfrac{(x-7)^7(x-18)(x+6)}{x-6}\leqslant 0. \]
Решим его методом интервалов:

\[ x\in[-6;6)\cup(7;18]. \]
Данное множество полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $[-6;6)\cup(7;18].$