Преобразуем неравенство с помощью
свойств логарифма ($\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_a b$):
\[
\left(\log_{0{,}2}x\right)^2 = \left(\log_{5^{-1}}x\right)^2 = \left(-\log_5 x\right)^2 = \log_5^2 x.
\]
Используя
основное логарифмическое тождество ( $a^{\log_a b}=b$ при $b>0$), перейдём к равносильной системе:
\[
\begin{cases}
\log_5x + \log_5^2 x - 12\leqslant 0,\\
\log_5 x > 0.
\end{cases}
\]
Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $t=\log_5 x:$
\[
t^2+t-12\leqslant 0.
\]
Разложим квадратный трёхчлен $t^2+t-12$ на множители.
Корни будут $t_1=-4, t_2=3.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $t_1$ и $t_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
t_1+t_2=-1,\\
t_1\cdot t_2=-12,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $-12$ на два множителя. Сумму $-1$ даёт пара $-4$ и $3.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
-4+3=-1,\\
(-4)\cdot 3=-12.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=-4,\\
t_2=3.
\end{array}
\right.
\])Значит,
\[
t^2+t-12=(t+4)(t-3).
\]
Имеем:
\[
(t+4)(t-3)\leqslant 0.
\]
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\[
-4\leqslant t\leqslant 3.
\]
Функция $y = \log_5 x$ монотонно возрастает, так как $5 > 1$. Сделаем обратную замену, учитывая второе неравенство системы:
\[
0 < \log_5 x \leqslant 3;
\]
\[
\log_5 1 < \log_5 x \leqslant \log_5 125;
\]
\[
1 < x \leqslant 125.
\]
Ответ: $(1;125].$
