По свойству
логарифма произведения ($$\log_a(b\cdot c)=\log_a b+\log_a c$$)\[
\log_3(3x)=\log_3 3+\log_3 x=1+\log_3 x.
\]
Используя
основное логарифмическое тождество ($a^{\log_a b}=b$ при $b>0$), перейдём к равносильной системе:
\[
\begin{cases}
\log_3 x+\dfrac{3}{\log_3 x+1}-3\leqslant 0,\\
\log_3 x > 0.
\end{cases}
\]
Решим первое неравенство системы. Сделаем замену $t=\log_3 x:$
\[
t+\dfrac{3}{t+1}-3\leqslant 0;
\]
\[
\dfrac{t(t+1)+3-3(t+1)}{t+1}\leqslant 0;
\]
\[
\dfrac{t^2+t+3-3t-3}{t+1}\leqslant 0;
\]
\[
\dfrac{t^2-2t}{t+1}\leqslant 0;
\]
\[
\dfrac{t(t-2)}{t+1}\leqslant 0.
\]
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\[
t\in(-\infty;-1)\cup[0;2].
\]
Функция $y = \log_3 x$ монотонно возрастает, так как $3 > 1$. Сделаем обратную замену, учитывая второе неравенство системы:
\[
\left[
\begin{array}{l}
0<\log_3 x<-1,\\[2mm]
\log_3 1\leqslant\log_3 x\leqslant\log_3 9
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
0<\log_3 x<\log_3\dfrac13,\\[2mm]
\log_3 1\leqslant\log_3 x\leqslant\log_3 9
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
1<x<\dfrac13,\\[2mm]
1<x\leqslant 9.
\end{array}
\right.
\]
Получаем:
\[
x\in(1;9].
\]
Ответ: $(1;9].$
