Так как $0{,}2=5^{-1},$ по
свойству степени в логарифме ($\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_a b$) \[
\log_{0{,}2}\left(25-\dfrac{100}{x-1}\right)=-\log_5\left(25-\dfrac{100}{x-1}\right).
\]
Приведём выражения под логарифмами к общему знаменателю:
\[
5+\dfrac{20}{x-5}=\dfrac{5x-25+20}{x-5}=5\cdot\dfrac{x-1}{x-5};
\]
\[
25-\dfrac{100}{x-1}=\dfrac{25x-25-100}{x-1}=25\cdot\dfrac{x-5}{x-1}.
\]
Неравенство примет вид:
\[
3\log_5\left(5\cdot\dfrac{x-1}{x-5}\right)\leqslant 9+2\log_5\left(25\cdot\dfrac{x-5}{x-1}\right).
\]
По формулам логарифма произведения и частного (Логарифм произведения:
$$\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c$$
Логарифм частного:
$$\log_a\dfrac bc=\log_a b-\log_a c$$)\[
\log_5\left(5\cdot\dfrac{x-1}{x-5}\right)=1+\log_5\dfrac{x-1}{x-5};
\]
\[
\log_5\left(25\cdot\dfrac{x-5}{x-1}\right)=2+\log_5\dfrac{x-5}{x-1}=2-\log_5\dfrac{x-1}{x-5}.
\]
Получаем:
\[
3+3\log_5\dfrac{x-1}{x-5}\leqslant 9+4-2\log_5\dfrac{x-1}{x-5};
\]
\[
\left.5\log_5\dfrac{x-1}{x-5}\leqslant 10;\quad\right|:5
\]
\[
\log_5\dfrac{x-1}{x-5}\leqslant 2.
\]
Функция $\log_5 t$ монотонно возрастает, поэтому
\[
\log_5\dfrac{x-1}{x-5}\leqslant\log_5 25
\quad\Longleftrightarrow\quad
0<\dfrac{x-1}{x-5}\leqslant 25
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
\dfrac{x-1}{x-5}>0\\[3mm]
\dfrac{x-1}{x-5}\leqslant 25
\end{cases}
\]
Во втором неравенстве перенесём $25$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:
\[
\dfrac{x-1-25x+125}{x-5}\leqslant 0;
\]
\[
\left.\dfrac{124-24x}{x-5}\leqslant 0;\quad\right|\cdot(-1)
\]
\[
\dfrac{24x-124}{x-5}\geqslant 0.
\]
Получаем систему:
\[
\begin{cases}
\dfrac{x-1}{x-5}>0\\[3mm]
\dfrac{24x-124}{x-5}\geqslant 0
\end{cases}
\]
Решим каждое неравенство системы методом интервалов:
Пересекая решения, получаем:
\[
x\in(-\infty;1)\cup\left[\dfrac{31}{6};+\infty\right).
\]
Ответ: $(-\infty;1)\cup\left[\dfrac{31}{6};+\infty\right).$
