По
свойствам логарифма ($$\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_a b;$$ $$\log_a b^m=m\log_a b \text{ при } b>0.$$) получаем:
\[
\log_{125}x=\log_{5^3}x=\dfrac13\log_5 x;
\]
\[
\log_8 16=\log_{2^3}2^4=\dfrac43\log_2 2=\dfrac43.
\]
Неравенство принимает вид
\[
\left.\quad\quad\;\;\;\dfrac{(2^x-2)^2\log_5 x}{3}<\dfrac43\left(4^x-2^{x+2}\right)+\dfrac{16}{3};\quad\right|\cdot 3
\]
\[
(2^x-2)^2\log_5 x<4\left(4^x-2^{x+2}\right)+16;
\]
\[
(2^x-2)^2\log_5 x<4\left(4^x-2^{x+2}+4\right).
\]
По
формуле квадрата разности ($$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$) имеем:
\[
4^x-2^{x+2}+4=\left(2^x\right)^2-2\cdot 2\cdot 2^x+2^2=(2^x-2)^2.
\]
Получаем:
\[
(2^x-2)^2\log_5 x<4(2^x-2)^2;
\]
\[
(2^x-2)^2\log_5 x-4(2^x-2)^2<0;
\]
\[
(2^x-2)^2\left(\log_5 x-4\right)<0.
\]
Множитель $(2^x-2)^2$ неотрицателен, так как является квадратом. Решим уравнение:
\[
(2^x-2)^2 = 0;
\]
\[
2^x - 2 = 0;
\]
\[
2^x = 2^1;
\]
\[
x = 1.
\]
Неравенство является строгим, поэтому $x = 1$ не является решением неравенства. С учётом этого разделим неравенство на $(2^x-2)^2 > 0$:
\[
\begin{cases}
\log_5 x-4<0,\\
x\neq1.
\end{cases}
\]
Функция $y=\log_5 t$ монотонно возрастает, так как $5>1,$ поэтому
\[
\begin{cases}
\log_5 x < 4,\\
x\neq1.
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
\log_5 x<\log_5 625,\\
x\neq 1
\end{cases}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\begin{cases}
0 < x<625,\\
x\neq 1.
\end{cases}
\]
Получаем:
\[
x\in(0;1)\cup(1;625).
\]
Ответ: $(0;1)\cup(1;625).$
