Неравенства: Решите неравенство 2log_3(x√(3)) - log_3 (... —...

Преобразуем левую часть неравенства. По свойству логарифма степени ($k\log_a b=\log_a b^k$ при $b>0$)
\[ 2\log_3\left(x\sqrt3\right)=\log_3\left(x\sqrt3\right)^2=\log_3\left(3x^2\right). \]
При положительных аргументах логарифмов по свойству логарифма частного ($\log_a b-\log_a c=\log_a\dfrac bc$ при $b>0,$ $c>0$)
\[ \log_3\left(3x^2\right)-\log_3\dfrac{x}{1-x}=\log_3\left(3x^2:\dfrac{x}{1-x}\right) = \log_3\left(3x(1-x)\right). \]

Таким образом, неравенство равносильно следующей системе:
\[ \begin{cases} \log_3\bigl(3x(1-x)\bigr)\leqslant\log_3\left(9x^2+\dfrac1x-4\right),\\[2mm] x\sqrt3>0,\\[2mm] \dfrac{x}{1-x}>0. \end{cases} \]
Второе неравенство даёт $x>0.$

Третье неравенство решим методом интервалов:



\[ x\in(0;1). \]

Функция $y=\log_3 t$ монотонно возрастает, так как $3>1,$ поэтому можем перейти к равносильной системе
\[ \begin{cases} 3x(1-x)\leqslant 9x^2+\dfrac1x-4,\\[2mm] 3x(1-x)>0,\\[2mm] 9x^2+\dfrac1x-4>0, \\[2mm] x\in(0;1). \end{cases} \]
Заметим, что при $x\in(0;1)$ верно, что $3x(1-x) > 0.$ Тогда и ограничение на аргумент логарифма
\[ 9x^2+\dfrac1x-4 > 0 \]
будет выполняться автоматически, так как
\[ 9x^2+\dfrac1x-4 \geqslant 3x(1-x)>0. \]

Решим теперь неравенство
$$3x(1-x)\leqslant 9x^2+\dfrac1x-4.$$
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
\[ 3x-3x^2-9x^2-\dfrac1x+4\leqslant 0; \]
\[ \dfrac{3x^2-12x^3-1+4x}{x}\leqslant 0; \]
\[ \dfrac{-12x^3+3x^2+4x-1}{x}\leqslant 0. \]
Разложим числитель на множители методом группировки:
\[ -12x^3+3x^2+4x-1=3x^2(1-4x)-(1-4x)=(1-4x)\left(3x^2-1\right) = -4\left(x-\dfrac14\right)\left(3x^2-1\right) . \]
По формуле разности квадратов ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$)
\[ 3x^2-1=3\left(x^2-\dfrac13\right)=3\left(x-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt3}\right). \]
Неравенство принимает вид
\[ \left.\quad\quad\quad\quad\;\;\dfrac{-12\left(x-\dfrac14\right)\left(x-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt3}\right)}{x}\leqslant 0;\quad\right|:(-12) < 0 \]
\[ \dfrac{\left(x-\dfrac14\right)\left(x-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt3}\right)}{x}\geqslant 0. \]
Решим неравенство методом интервалов:



\[ x\in\left(-\infty;-\dfrac{1}{\sqrt3}\right]\cup\left(0;\dfrac14\right]\cup\left[\dfrac{1}{\sqrt3};+\infty\right). \]
Пересечём с условием $x\in(0;1):$



\[ x\in\left(0;\dfrac14\right]\cup\left[\dfrac{1}{\sqrt3};1\right). \]

Ответ: $\left(0;\dfrac14\right]\cup\left[\dfrac{1}{\sqrt3};1\right).$