Неравенства: Решите неравенство 2 log₂(x√(5)) -... — задача

Преобразуем левую часть неравенства. По свойству логарифма степени ($k\log_a b=\log_a b^k$ при $b>0$)
\[ 2\log_2\left(x\sqrt5\right)=\log_2\left(x\sqrt5\right)^2=\log_2\left(5x^2\right). \]
При положительных аргументах логарифмов по свойству логарифма частного ($\log_a b-\log_a c=\log_a\dfrac bc$ при $b>0,$ $c>0$)
\[ \log_2\left(5x^2\right)-\log_2\dfrac{x}{1-x}=\log_2\left(5x^2:\dfrac{x}{1-x}\right) = \log_2\left(5x(1-x)\right). \]

Таким образом, неравенство равносильно следующей системе:
\[ \begin{cases} \log_2\bigl(5x(1-x)\bigr)\leqslant\log_2\left(5x^2+\dfrac1x-2\right),\\[2mm] x\sqrt5>0,\\[2mm] \dfrac{x}{1-x}>0. \end{cases} \]
Второе неравенство даёт $x>0.$

Третье неравенство решим методом интервалов:



\[ x\in(0;1). \]

Функция $y=\log_2 t$ монотонно возрастает, так как $2>1,$ поэтому можем перейти к равносильной системе
\[ \begin{cases} 5x(1-x)\leqslant 5x^2+\dfrac1x-2,\\[2mm] 5x(1-x)>0,\\[2mm] 5x^2+\dfrac1x-2>0, \\[2mm] x\in(0;1). \end{cases} \]
Заметим, что при $x\in(0;1)$ верно, что $5x(1-x) > 0.$ Тогда и ограничение на аргумент логарифма
\[ 5x^2+\dfrac1x-2 > 0 \]
будет выполняться автоматически, так как
\[ 5x^2+\dfrac1x-2 \geqslant 5x(1-x)>0. \]

Решим теперь неравенство
$$ 5x(1-x)\leqslant 5x^2+\dfrac1x-2.$$
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
\[ 5x-5x^2-5x^2-\dfrac1x+2\leqslant 0; \]
\[ \dfrac{5x^2-10x^3-1+2x}{x}\leqslant 0; \]
\[ \dfrac{-10x^3+5x^2+2x-1}{x}\leqslant 0. \]
Разложим числитель на множители методом группировки:
\[ -10x^3+5x^2+2x-1=5x^2(1-2x)-(1-2x)=(1-2x)\left(5x^2-1\right) = -2\left(x-\dfrac12\right)\left(5x^2-1\right) . \]
По формуле разности квадратов ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$)
\[ 5x^2-1=5\left(x^2-\dfrac15\right)=5\left(x-\dfrac{1}{\sqrt5}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt5}\right). \]
Неравенство принимает вид
\[ \left.\quad\quad\quad\quad\;\;\dfrac{-10\left(x-\dfrac12\right)\left(x-\dfrac{1}{\sqrt5}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt5}\right)}{x}\leqslant 0;\quad\right|:(-10) < 0 \]
\[ \dfrac{\left(x-\dfrac12\right)\left(x-\dfrac{1}{\sqrt5}\right)\left(x+\dfrac{1}{\sqrt5}\right)}{x}\geqslant 0. \]
Решим неравенство методом интервалов:



\[ x\in\left(-\infty;-\dfrac{1}{\sqrt5}\right]\cup\left(0;\dfrac{1}{\sqrt5}\right]\cup\left[\dfrac12;+\infty\right). \]
Пересечём с условием $x\in(0;1):$



\[ x\in\left(0;\dfrac{1}{\sqrt5}\right]\cup\left[\dfrac12;1\right). \]

Ответ: $\left(0;\dfrac{1}{\sqrt5}\right]\cup\left[\dfrac12;1\right).$