Неравенства: Решите неравенство 1 + (5)/(log₄ x - 3) +... — задача

Запишем ограничения на аргументы логарифмов:
\[ \begin{cases} 64x^6 > 0,\\ x > 0 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad x > 0. \]

По формуле логарифма произведения ($$\log_a(b\cdot c)=\log_a b+\log_a c$$) \[ \log_4(64x^6)=\log_4 64+\log_4 x^6 = 3 + \log_4 x^6. \]
Так как $x>0,$ то чётная степень выносится без модуля:
\[ \log_4(64x^6)=3+6\log_4 x. \]
Получаем:
\[ \log_4^2 x-\log_4(64x^6)+12=\log_4^2 x-6\log_4 x-3+12=\log_4^2 x-6\log_4 x+9. \]
По формуле квадрата разности ($a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$)
$$\log_4^2 x-6\log_4 x+9 = (\log_4x)^2 - 2\cdot 3\cdot\log_4x + 3^2 =(\log_4 x-3)^2,$$
поэтому неравенство принимает вид:
\[ 1+\dfrac{5}{\log_4 x-3}+\dfrac{6}{(\log_4 x-3)^2}\geqslant 0. \]
Сделаем замену $t=\log_4 x-3:$
\[ 1+\dfrac5t+\dfrac{6}{t^2}\geqslant 0; \]
\[ \dfrac{t^2+5t+6}{t^2}\geqslant 0. \]
Разложим квадратный трёхчлен $t^2+5t+6$ на множители. Корни будут $t_1=-2, t_2=-3.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $t_1$ и $t_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[ \begin{cases} t_1+t_2=-5,\\ t_1\cdot t_2=6, \end{cases} \]
то они являются корнями.
Разложим $6$ на два множителя. Сумму $-5$ даёт пара $-2$ и $-3.$
Проверка:
\[ \begin{cases} -2+(-3)=-5,\\ (-2)\cdot(-3)=6. \end{cases} \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} t_1=-2,\\ t_2=-3. \end{array} \right. \])
Значит, $$t^2+5t+6=(t+2)(t+3).$$
Отсюда:
\[ \dfrac{(t+2)(t+3)}{t^2}\geqslant 0. \]
Выставим точки на числовую прямую (Неравенство нестрогое, поэтому нули числителя закрашиваем, а нуль знаменателя выкалываем.
Нули числителя: $t_2=-3, t_1=-2,$
Нуль знаменателя: $t_3=0;$) и решим неравенство методом интервалов.

\[ t\in(-\infty;-3]\cup[-2;0)\cup(0;+\infty). \]
Сделаем обратную замену $t=\log_4 x-3:$
\[ \left[ \begin{array}{l} \log_4 x-3\leqslant -3,\\ -2\leqslant\log_4 x-3<0,\\ \log_4 x-3>0 \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} \log_4 x\leqslant 0,\\ 1\leqslant\log_4 x<3,\\ \log_4 x>3. \end{array} \right. \]
Функция $y = \log_4 x$ монотонно возрастает, так как $4>1$, поэтому
\[ \left[ \begin{array}{l} \log_4 x\leqslant\log_4 1,\\ \log_4 4\leqslant\log_4 x<\log_4 64,\\ \log_4 x>\log_4 64 \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} 0<x\leqslant 1,\\ 4\leqslant x<64,\\ x>64. \end{array} \right. \]
Объединяем решения:

\[ x\in(0;1]\cup[4;64)\cup(64;+\infty). \]

Ответ: $(0;1]\cup[4;64)\cup(64;+\infty).$