По формуле логарифма произведения ($$\log_a (b\cdot c) = \log_a b+\log_a c$$) получаем:
\[
\log_2 (16x) = \log_2 16+\log_2 x = 4 + \log_2 x;
\]
\[
\log_2 (8x) = \log_2 8+\log_2 x = 3 + \log_2 x.
\]
Неравенство принимает вид
\[
\dfrac{\log_2 x + 2}{\log_2 x+1}\cdot\left(\log_2^2 x+\log_2 x\right)\leqslant 0.
\]
Сделаем замену $t=\log_2 x:$
\[
\dfrac{t+2}{t+1}\cdot\left(t^2+t\right)\leqslant 0;
\]
\[
\dfrac{(t+2)\cdot t\cdot(t+1)}{t+1}\leqslant 0.
\]
Решим неравенство методом интервалов:
\[
t\in[-2;-1)\cup(-1;0].
\]
Сделаем обратную замену. Функция $\log_2 x$ монотонно возрастает, поэтому
\[
\left[
\begin{array}{l}
-2\leqslant\log_2 x<-1,\\
-1<\log_2 x\leqslant 0
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\log_2\dfrac14\leqslant\log_2 x<\log_2\dfrac12,\\[2mm]
\log_2\dfrac12<\log_2 x\leqslant\log_2 1
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\dfrac14\leqslant x<\dfrac12,\\[2mm]
\dfrac12<x\leqslant 1.
\end{array}
\right.
\]
Объединяем решения:
\[
x\in[0{,}25;0{,}5)\cup(0{,}5;1].
\]
Ответ: $[0{,}25;0{,}5)\cup(0{,}5;1].$
