В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB=3,AC=5.
Решение
а) ∠AKH=∠AMH=90∘, поэтому вокруг четырёхугольника AHKM можно описать окружность. Тогда ∠AHM=∠AKM, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
Треугольники AHM и AHC подобны, так как угол A -- общий и они являются прямоугольными. Следовательно,
∠AHM=∠ACH=α. Треугольник ABC -- равнобедренный, значит, ∠BAC=∠BCA. Треугольник AKM -- равнобедренный, так как ∠KAM=∠MAK, отсюда AM=MK.
б) BT -- высота и медиана равнобедренного треугольника ABC, поэтому CT=25.
Из прямоугольных треугольников BCT,AHC и HMC получаем:
cosα=65; cosα=ACHC⇒HC=625; cosα=HCMC⇒MC=36125. Следовательно,
MK=AM=AC−MC=5−36125=3655.
