Треугольники

В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно. а) Докажите, что отрезки AM и MK равны. б) Найдите MK, если AB = 3, AC = 5.

В треугольнике ABC угол ABC равен 60^∘. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M. а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности. б) Найдите sin∠ BMC, если известно, что отрезок BM в 2,8 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Отрезки HM и HK – перпендикуляры к прямым AB и AC соответственно. Отрезки CT и MK пересекаются в точке E. а) Докажите, что TH = ME. б) Найдите длину отрезка EK, если AB = 5 и AC = 6.

Дан прямоугольный треугольник ABC и окружность в нём, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. EH — перпендикуляр к MK. а) Доказать, что EK ∥ CH. б) Известно, что AC = 15, BC = 8. Найти отношение CHEK.

Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC, а также его высоты CH. а) Докажите, что ∠ AOC = 90^∘. б) Найдите площадь треугольника ABC, если BO = 7, AC = 16.