В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно. а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны. б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ ABC=60^∘.

Периметр треугольника ABC равен 24. На сторонах AB и BC отмечены точки E и F соответственно так, что BE : EA = BF : FC = 3:1. Прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник. а)Докажите, что AC = 3. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ ACB = 90^∘ .

В тупоугольном треугольнике ABC угол C тупой. Точка P лежит вне треугольника ABC. BP и CP — перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно, причём CP пересекает сторону AB. Высота CH треугольника ACP пересекает отрезок AB в точке K. а) Докажите, что острые углы ABC и ACH равны. б) Найдите длину стороны AC, если AK = 5, BK = 15.

В тупоугольном треугольнике ABC угол C тупой. Точка P лежит вне треугольника ABC. BP и CP — перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно, причём CP пересекает сторону AB. Высота CH треугольника ACP пересекает отрезок AB в точке K. а) Докажите, что острые углы ABC и ACH равны. б) Найдите длину стороны AC, если AK = 6, BK = 18.

На стороне АС равностороннего треугольника ABC отмечена точка М. Серединный перпендикуляр к отрезку ВМ пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и К соответственно. а) Докажите, что ∠ AEM=∠ CMK. б) Найдите отношение площадей треугольников АЕМ и СМК, если AM : MC = 1:4.