В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно. а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны. б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ ABC=60^∘.

Периметр треугольника ABC равен 24. На сторонах AB и BC отмечены точки E и F соответственно так, что BE : EA = BF : FC = 3:1. Прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник. а)Докажите, что AC = 3. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ ACB = 90^∘ .

В тупоугольном треугольнике ABC угол C тупой. Точка P лежит вне треугольника ABC. BP и CP — перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно, причём CP пересекает сторону AB. Высота CH треугольника ACP пересекает отрезок AB в точке K. а) Докажите, что острые углы ABC и ACH равны. б) Найдите длину стороны AC, если AK = 5, BK = 15.

В тупоугольном треугольнике ABC угол C тупой. Точка P лежит вне треугольника ABC. BP и CP — перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно, причём CP пересекает сторону AB. Высота CH треугольника ACP пересекает отрезок AB в точке K. а) Докажите, что острые углы ABC и ACH равны. б) Найдите длину стороны AC, если AK = 6, BK = 18.

На стороне АС равностороннего треугольника ABC отмечена точка М. Серединный перпендикуляр к отрезку ВМ пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и К соответственно. а) Докажите, что ∠ AEM=∠ CMK. б) Найдите отношение площадей треугольников АЕМ и СМК, если AM : MC = 1:4.

На стороне B C треугольника A B C отмечена точка D так, что A B=B D. Биссектриса B F треугольника A B C пересекает прямую A D в точке E. Из точки C на прямую A D опущен перпендикуляр C K. а) Докажите, что A B: B C=A E: E K. б) Найдите отношение площади треугольника A B E к площади четырёхугольника C D E F, если B D: D C=5: 2.

В остроугольном треугольнике A B C высоты A A₁, B B₁ и C C₁ пересекаются в точке H. Через точку C₁ параллельно высоте B B₁ проведена прямая, пересекающая высоту A A₁ в точке K. a) Докажите, что A B · K H=B C · C₁ H. б) Найдите отношение площадей треугольников C₁ H K и A B C, если A B=6, B C=4, A C=5.

На стороне A C равностороннего треугольника A B C отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку B M пересекает стороны A B и B C в точках E и K соответственно. а) Докажите, что треугольники A E M и C M K подобны. б) Найдите отношение A M: M C, если площади треугольников A E M и C M K равны 4 и 9 соответственно.