Дан прямоугольный треугольник ABC. Квадрат CKNM, такой, что точки K и M лежат на катетах AC и BC соответственно, а N лежит на гипотенузе AB. Квадрат PQRT такой, что вершины P и Q лежат на AC и BC, а вершины T и R лежат на гипотенузе. а) Докажите, что точки C, N и центры квадратов лежат на одной прямой. б) Найти сторону квадрата PQRT, если AC=12 и BC=5.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD =1:3. В треугольнике PQW угол W острый, при этом радиус описанной около этого треугольника окружности равен 54, PQ = 2, QW = 32. а) Докажите, что треугольник PQW прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

В треугольнике A B C проведена биссектриса A M. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно A M, пересекает сторону A C в точке N. Известно, что A B=6, B C=5, A C=9. a) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок M N пополам. б) Пусть P – точка пересечения биссектрис треугольника A B C. Найдите отношение A P: P N.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно. а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны. б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ ABC=60^∘.

Периметр треугольника ABC равен 24. На сторонах AB и BC отмечены точки E и F соответственно так, что BE : EA = BF : FC = 3:1. Прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник. а)Докажите, что AC = 3. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ ACB = 90^∘ .