Треугольники

Дан прямоугольный треугольник ABC и окружность в нём, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. MH — перпендикуляр к EK. а) Доказать, что MK ∥ CH. б) Известно, что AC = 15, BC = 8. Найти отношение CHMK.

В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Отрезки HM и HK — перпендикуляры к прямым AB и AC соответственно. Отрезки CT и MK пересекаются в точке E. а) Докажите, что прямые AB и EH параллельны. б) Найдите длину отрезка ME, если AB = 5 и AC = 6.

В остроугольном треугольнике ABC отрезки AH, BN и CK являются высотами. Известно, что AK = 2, BH = 3, а ∠ KNH = 60^∘. а) Докажите, что ∠ ABC = 60^∘. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC

В остроугольном треугольнике ABC отрезки AH, BN и CK являются высотами. Известно, что AK = 2, BH = 3, а ∠ KNH = 60^∘. а) Докажите, что ∠ ABC = 60^∘. б) Найдите длину высоты BN.

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника ABC, являются общими внутренними касательными к окружностям. Прямая, содержащая гипотенузу AB, является их общей внешней касательной. а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника ABC б) Найдите площадь треугольника ABC, если радиусы окружностей равны 4 и 8.

ABC равносторонний треугольник. На стороне AC выбрана точка M, серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает сторону AB в точке E, а сторону BC в точке K. а) Докажите, что угол AEM равен углу CMK. б) Найти отношение площадей треугольников AEM и CMK, если AM:CM=1:4.

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что AM:MB=CN:NB=1:2. Вписанная окружность треугольника ABC касается отрезка MN в точке L. а) Докажите, что AB+BC=5AC. б) Известно, что ML=1, LN=3. Найдите радиус вписанной окружности.

В треугольник ABC вписана окружность, которая касается стороны AB в точке P. Точка M — середина стороны AB. а) Докажите, что MP=|BC-AC|2. б) Найдите углы треугольника ABC, если известно, что отрезок MP равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC, BC>AC и отрезки MC и MA равны.

Дан остроугольный треугольник ABC. В нём высоты BB_1 и CC_1 пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠ AHB_1=∠ ACB. б) Найдите BC, если AH=8√(3) и ∠ BAC=60^∘.

Дан остроугольный треугольник ABC. В нём высоты BB_1 и CC_1 пересекаются в точке H. а) Докажите, что ∠ BAH=∠ BB_1C_1. б) Найдите расстояние от центра описанной окружности до BC, если C_1B_1=18, а ∠ BAC =30^∘.

Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K. a) Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB=8, BC= √(15), AC=7.

Дан прямоугольный треугольник R S T с прямым углом T. На катете R T взята точка M. Окружность с центром O и диаметром T M касается гипотенузы в точке N. a) Докажите, что прямые M N и S O параллельны. б) Найдите площадь четырехугольника S O M N, если T N=8 и R M: M T=1: 3.

В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB отмечена её середина — точка K, на стороне BC отмечена её середина — точка M. На отрезке KM отмечена точка E так, что KE : EM = 1 : 2. Прямая AE пересекает сторону BC в точке N. а) Докажите, что прямая, проходящая через точку K параллельно прямой AN, пересекает отрезок BN в его середине. б) Найдите длину отрезка AN, если AC = √(13).

В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведена высота BH. Около треугольника ABC описана окружность. Высота BH пересекается с этой окружностью в точке P, причём луч AP — биссектриса угла BAC. а) Докажите, что треугольник BCP равнобедренный. б) Найдите длину стороны AC, если длина стороны BC равна радиусу описанной окружности, равному 2√(2).

Дан прямоугольный треугольник ABC. Квадрат CKNM, такой, что точки K и M лежат на катетах AC и BC соответственно, а N лежит на гипотенузе AB. Квадрат PQRT такой, что вершины P и Q лежат на AC и BC, а вершины T и R лежат на гипотенузе. а) Докажите, что точки C, N и центры квадратов лежат на одной прямой. б) Найти сторону квадрата PQRT, если AC=12 и BC=5.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD =1:3. В треугольнике PQW угол W острый, при этом радиус описанной около этого треугольника окружности равен 54, PQ = 2, QW = 32. а) Докажите, что треугольник PQW прямоугольный. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

В треугольнике A B C проведена биссектриса A M. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно A M, пересекает сторону A C в точке N. Известно, что A B=6, B C=5, A C=9. a) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок M N пополам. б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника A B C. Найдите отношение A P: P N.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно. а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны. б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ ABC=60^∘.

Периметр треугольника ABC равен 24. На сторонах AB и BC отмечены точки E и F соответственно так, что BE : EA = BF : FC = 3:1. Прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник. а)Докажите, что AC = 3. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ∠ ACB = 90^∘ .

В тупоугольном треугольнике ABC угол C тупой. Точка P лежит вне треугольника ABC. BP и CP — перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно, причём CP пересекает сторону AB. Высота CH треугольника ACP пересекает отрезок AB в точке K. а) Докажите, что острые углы ABC и ACH равны. б) Найдите длину стороны AC, если AK = 5, BK = 15.

В тупоугольном треугольнике ABC угол C тупой. Точка P лежит вне треугольника ABC. BP и CP — перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно, причём CP пересекает сторону AB. Высота CH треугольника ACP пересекает отрезок AB в точке K. а) Докажите, что острые углы ABC и ACH равны. б) Найдите длину стороны AC, если AK = 6, BK = 18.

На стороне B C треугольника A B C отмечена точка D так, что A B=B D. Биссектриса B F треугольника A B C пересекает прямую A D в точке E. Из точки C на прямую A D опущен перпендикуляр C K. а) Докажите, что A B: B C=A E: E K. б) Найдите отношение площади треугольника A B E к площади четырёхугольника C D E F, если B D: D C=5: 2.

В остроугольном треугольнике A B C высоты A A₁, B B₁ и C C₁ пересекаются в точке H. Через точку C₁ параллельно высоте B B₁ проведена прямая, пересекающая высоту A A₁ в точке K. a) Докажите, что A B · K H=B C · C₁ H. б) Найдите отношение площадей треугольников C₁ H K и A B C, если A B=6, B C=4, A C=5.

На стороне A C равностороннего треугольника A B C отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку B M пересекает стороны A B и B C в точках E и K соответственно. а) Докажите, что треугольники A E M и C M K подобны. б) Найдите отношение A M: M C, если площади треугольников A E M и C M K равны 4 и 9 соответственно.