Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ПланиметрияЕГЭ 2026 (Основная волна)
В равнобедренном остроугольном треугольнике ABCABCABC проведены высоты AHAHAH и CTCTCT к боковым сторонам BCBCBC и ABABAB. Отрезки HMHMHM и HKHKHK -- перпендикуляры к прямым ABABAB и ACACAC соответственно. Отрезки CTCTCT и MKMKMK пересекаются в точке EEE.

а) Докажите, что TH=METH = METH=ME.

б) Найдите длину отрезка EKEKEK, если AB=5AB = 5AB=5 и AC=6AC = 6AC=6.

Решение

а) Четырёхугольник AMHKAMHKAMHK -- вписанный, так как ∠AMH+∠HKA=180∘\angle AMH + \angle HKA = 180^{\circ}∠AMH+∠HKA=180∘. Значит, ∠AMK=∠AHK\angle AMK = \angle AHK∠AMK=∠AHK как вписанные и опирающиеся на одну дугу.

∠KHC=90∘−∠AHK\angle KHC = 90^{\circ} - \angle AHK∠KHC=90∘−∠AHK, значит, ∠KCH=∠AHK=∠BAC\angle KCH = \angle AHK = \angle BAC∠KCH=∠AHK=∠BAC (как углы при основании равнобедренного треугольника).

△ATC=△CHA\triangle ATC = \triangle CHA△ATC=△CHA как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, тогда AT=CHAT=CHAT=CH, а значит, BT=BHBT=BHBT=BH, следовательно, TH∥ACTH \parallel ACTH∥AC по теореме, обратной обобщенной теореме Фалеса.

△MTH=△TME\triangle MTH = \triangle TME△MTH=△TME по стороне и двум прилежащим к ней углам, так как
-- сторона TMTMTM общая,
-- ∠BTH=∠TME\angle BTH = \angle TME∠BTH=∠TME (∠BTH=∠BAC\angle BTH = \angle BAC∠BTH=∠BAC -- как соответственные при TH∥ACTH\parallel ACTH∥AC и секущей ABABAB, а выше доказали, что ∠BAC=∠AHK=∠AMK\angle BAC=\angle AHK=\angle AMK∠BAC=∠AHK=∠AMK),
-- ∠MTE=∠TMH=90∘\angle MTE = \angle TMH=90^{\circ}∠MTE=∠TMH=90∘.
Из равенства треугольников получаем, что MH=TEMH = TEMH=TE. С учётом MH∥TEMH\parallel TEMH∥TE и MH⊥ABMH \perp ABMH⊥AB, получаем, что четырёхугольник MHETMHETMHET -- это прямоугольник, тогда TH=METH = METH=ME как его диагонали, ч.т.д.
Изображение 1

б) Пусть BPBPBP -- высота, медиана и биссектриса в треугольнике ABCABCABC, тогда AP=PC=3AP = PC = 3AP=PC=3. \par \medskip
Из треугольника ABPABPABP по теореме Пифагора: AB2=BP2+AP2,BP=AB2−AP2=25−9=4.AB^2 = BP^2 + AP^2, \quad BP = \sqrt{AB^2 - AP^2} = \sqrt{25 - 9} = 4.AB2=BP2+AP2,BP=AB2−AP2​=25−9​=4.
Запишем площадь треугольника ABCABCABC двумя способами и выразим AHAHAH:
S△ABC=12BP⋅AC=12AH⋅BC;AH=BP⋅ACBC=6⋅45=4,8.S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}BP \cdot AC = \dfrac{1}{2} AH \cdot BC; \quad AH = \dfrac{BP \cdot AC}{BC} = \dfrac{6\cdot 4}{5} = 4,8.S△ABC​=21​BP⋅AC=21​AH⋅BC;AH=BCBP⋅AC​=56⋅4​=4,8.
Из треугольника ACHACHACH по теореме Пифагора: AC2=CH2+AH2,CH=AC2−AH2=36−23,04=3,6.AC^2 = CH^2 + AH^2, \quad CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{36 - 23,04} = 3,6.AC2=CH2+AH2,CH=AC2−AH2​=36−23,04​=3,6.
Тогда BH=BC−CH=5−3,6=1,4BH = BC - CH = 5 - 3,6 = 1,4BH=BC−CH=5−3,6=1,4.
△BTH∼△BAC\triangle BTH \sim \triangle BAC△BTH∼△BAC по двум углам, так как ∠ABC\angle ABC∠ABC -- общий, а ∠BTH=∠BAC\angle BTH = \angle BAC∠BTH=∠BAC, значит, справедливы следующие отношения сторон:
THAC=BHBC=1,45=725,TH=725AC=4225.\dfrac{TH}{AC} = \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{1,4}{5} = \dfrac{7}{25}, \quad TH = \dfrac{7}{25}AC = \dfrac{42}{25}.ACTH​=BCBH​=51,4​=257​,TH=257​AC=2542​.
Так как ∠C\angle C∠C -- общий и ∠CEH=∠CTB=90∘\angle CEH = \angle CTB = 90^{\circ}∠CEH=∠CTB=90∘, то △CEH∼△CTB\triangle CEH \sim \triangle CTB△CEH∼△CTB по двум углам, значит:
EHBT=CHCB=3,65=1825,EH=1825BT=1825⋅1,4=126125.\dfrac{EH}{BT} = \dfrac{CH}{CB} = \dfrac{3,6}{5} = \dfrac{18}{25}, \quad EH = \dfrac{18}{25}BT = \dfrac{18}{25} \cdot 1,4 = \dfrac{126}{125}.BTEH​=CBCH​=53,6​=2518​,EH=2518​BT=2518​⋅1,4=125126​.
Из △BTC\triangle BTC△BTC получаем:
sin⁡∠BCT=BTBC=1,45=0,28.\sin \angle BCT = \dfrac{BT}{BC} = \dfrac{1,4}{5} = 0,28.sin∠BCT=BCBT​=51,4​=0,28.
Так как ∠HKC=∠HEC=90∘\angle HKC = \angle HEC = 90^{\circ}∠HKC=∠HEC=90∘, то KEHCKEHCKEHC -- вписанный, тогда ∠HCE=∠HKE\angle HCE = \angle HKE∠HCE=∠HKE как вписанные и опирающиеся на одну дугу.
Из △HKE\triangle HKE△HKE по теореме синусов:
EHsin⁡∠HKE=2R,R=126125⋅2⋅0,28=1,8.\dfrac{EH}{\sin \angle HKE} = 2R, \quad R = \dfrac{126}{125 \cdot 2\cdot 0,28} = 1,8.sin∠HKEEH​=2R,R=125⋅2⋅0,28126​=1,8.
Из △ATC\triangle ATC△ATC получаем:
sin⁡∠ACT=ATAC=3,66=0,6.\sin \angle ACT = \dfrac{AT}{AC} = \dfrac{3,6}{6} = 0,6.sin∠ACT=ACAT​=63,6​=0,6.
Так как около треугольника ECKECKECK описана та же окружность, что и около четырёхугольника KEHCKEHCKEHC, тогда по теореме синусов: EK=2R⋅sin⁡∠KCE=3,6⋅0,6=2,16.EK = 2R \cdot \sin \angle KCE = 3,6 \cdot 0,6 = 2,16.EK=2R⋅sin∠KCE=3,6⋅0,6=2,16.
Ответ: 2,162,162,16.