Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаЕГЭ 2026 (Основная волна)

В равнобедренном остроугольном треугольнике

ABC

проведены высоты

AH

CT

к боковым сторонам

BC

AB

. Отрезки

HM

HK

— перпендикуляры к прямым

AB

AC

соответственно. Отрезки

CT

MK

пересекаются в точке

E

.

а) Докажите, что

TH = ME

.

б) Найдите длину отрезка

EK

, если

AB = 5

AC = 6

Решение

а) Четырёхугольник

AMHK

— вписанный, так как

\angle AMH + \angle HKA = 180^{\circ}

. Значит,

\angle AMK = \angle AHK

как вписанные и опирающиеся на одну дугу.

\angle KHC = 90^{\circ} - \angle AHK

, значит,

\angle KCH = \angle AHK = \angle BAC

(как углы при основании равнобедренного треугольника).

\triangle ATC = \triangle CHA

как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, тогда

AT=CH

, а значит,

BT=BH

, следовательно,

TH \parallel AC

по теореме, обратной обобщенной теореме Фалеса.

\triangle MTH = \triangle TME

по стороне и двум прилежащим к ней углам, так как
— сторона

TM

общая,
—

\angle BTH = \angle TME

(

\angle BTH = \angle BAC

-- как соответственные при

TH\parallel AC

и секущей

AB

, а выше доказали, что

\angle BAC=\angle AHK=\angle AMK

),
—

\angle MTE = \angle TMH=90^{\circ}

.
Из равенства треугольников получаем, что

MH = TE

. С учётом

MH\parallel TE

MH \perp AB

, получаем, что четырёхугольник

MHET

— это прямоугольник, тогда

TH = ME

как его диагонали, ч.т.д.

б) Пусть

BP

— высота, медиана и биссектриса в треугольнике

ABC

, тогда

AP = PC = 3

.
Из треугольника

ABP

по теореме Пифагора:

AB^2 = BP^2 + AP^2, \quad BP = \sqrt{AB^2 - AP^2} = \sqrt{25 - 9} = 4.

Запишем площадь треугольника

ABC

двумя способами и выразим

AH

S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}BP \cdot AC = \dfrac{1}{2} AH \cdot BC; \quad AH = \dfrac{BP \cdot AC}{BC} = \dfrac{6\cdot 4}{5} = 4,8.

Из треугольника

ACH

по теореме Пифагора:

AC^2 = CH^2 + AH^2, \quad CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{36 - 23,04} = 3,6.

Тогда

BH = BC - CH = 5 - 3,6 = 1,4

\triangle BTH \sim \triangle BAC

по двум углам, так как

\angle ABC

— общий, а

\angle BTH = \angle BAC

, значит, справедливы следующие отношения сторон:

\dfrac{TH}{AC} = \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{1,4}{5} = \dfrac{7}{25}, \quad TH = \dfrac{7}{25}AC = \dfrac{42}{25}.

Так как

\angle C

— общий и

\angle CEH = \angle CTB = 90^{\circ}

, то

\triangle CEH \sim \triangle CTB

по двум углам, значит:

\dfrac{EH}{BT} = \dfrac{CH}{CB} = \dfrac{3,6}{5} = \dfrac{18}{25}, \quad EH = \dfrac{18}{25}BT = \dfrac{18}{25} \cdot 1,4 = \dfrac{126}{125}.

Из

\triangle BTC

получаем:

\sin \angle BCT = \dfrac{BT}{BC} = \dfrac{1,4}{5} = 0,28.

Так как

\angle HKC = \angle HEC = 90^{\circ}

, то

KEHC

— вписанный, тогда

\angle HCE = \angle HKE

как вписанные и опирающиеся на одну дугу.
Из

\triangle HKE

по теореме синусов:

\dfrac{EH}{\sin \angle HKE} = 2R, \quad R = \dfrac{126}{125 \cdot 2\cdot 0,28} = 1,8.

Из

\triangle ATC

получаем:

\sin \angle ACT = \dfrac{AT}{AC} = \dfrac{3,6}{6} = 0,6.

Так как около треугольника

ECK

описана та же окружность, что и около четырёхугольника

KEHC

, тогда по теореме синусов:

EK = 2R \cdot \sin \angle KCE = 3,6 \cdot 0,6 = 2,16.

Ответ:

2,16

Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи