Дан прямоугольный треугольник ABC и окружность в нём, касающаяся катетов AC,BC и гипотенузы AB в точках M,E и K соответственно. EH --- перпендикуляр к MK.
а) Доказать, что EK∥CH.
б) Известно, что AC=15,BC=8. Найти отношение EKCH.
Решение
а) ∠ECM+∠EHM=180∘, поэтому около четырёхугольника ECMH можно описать окружность ω. Тогда ∠ECH=∠EMH как вписанные и опирающиеся на одну дугу окружности ω. При этом ∠BEK=21E⌣K как угол между касательной и хордой, а также ∠EMK=21E⌣K как вписанный.
Итого, ∠BEK=∠ECH -- соответственные при прямых EK и CH и секущей BC, откуда следует, что EK∥CH, ч.т.д.
б) △ECM -- равнобедренный, так как EC=CM -- отрезки касательных, проведённых из одной точки. Значит, ∠CEM=∠CME=45∘.
CE -- касательная, EM -- хорда, поэтому
EM⌣=2⋅∠CEM=90∘, значит, по свойству вписанного угла:
∠EKM=21⋅EM⌣=45∘. Пусть O -- центр вписанной в треугольник ABC окружности ω1.
△BEK -- равнобедренный, так как BE=BK -- отрезки касательных, проведённых из одной точки. Тогда у двух равнобедренных треугольников BEK и EKH общее основание EK, следовательно, высоты, проведённые к основанию, проходят через середину EK и лежат на одной прямой BH.
Пусть BH∩EK=T, тогда ET=TK и EKCH=2ETCH.
△BET∼△BCH по двум углам (угол CBH -- общий, ∠BEK=∠ECH из пункта а). Получаем:
EKCH=2ETCH=2BEBC. По теореме Пифагора в треугольнике ABC получаем:
AB=BC2+AC2=82+152=17. Вычислим радиус вписанной окружности в треугольнике ABC: r=pS=21(AC+BC+AB)21⋅AC⋅BC=15+8+1715⋅8=40120=3. Так как CEOM -- квадрат, то CE=r=3, тогда BE=BC−CE=8−3=5. Следовательно,
EKCH=2ETCH=2BEBC=2⋅58=54.
