Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаЕГЭ 2026 (Основная волна)

Дан прямоугольный треугольник

ABC

и окружность в нём, касающаяся катетов

AC

BC

и гипотенузы

AB

в точках

M

E

K

соответственно.

EH

— перпендикуляр к

MK

.

а) Доказать, что

EK \parallel CH

.

б) Известно, что

AC = 15

BC = 8

. Найти отношение

\dfrac{CH}{EK}

Решение

а)

\angle{ECM} + \angle{EHM} = 180^{\circ}

, поэтому около четырёхугольника

ECMH

можно описать окружность

\omega

. Тогда

\angle ECH = \angle EMH

как вписанные и опирающиеся на одну дугу окружности

\omega

. При этом

\angle BEK = \dfrac{1}{2}\overset{\smile} EK

как угол между касательной и хордой, а также

\angle EMK = \dfrac{1}{2}\overset{\smile} EK

как вписанный.
Итого,

\angle{BEK} = \angle{ECH}

— соответственные при прямых

EK

CH

и секущей

BC

, откуда следует, что

EK \parallel CH

, ч.т.д.

б)

\triangle ECM

— равнобедренный, так как

EC=CM

— отрезки касательных, проведённых из одной точки. Значит,

\angle{CEM} = \angle{CME} = 45^{\circ}

CE

— касательная,

EM

— хорда, поэтому

\overset{\smile}{EM} = 2\cdot\angle{CEM} = 90^{\circ},

значит, по свойству вписанного угла:

\angle{EKM} = \dfrac{1}{2}\cdot\overset{\smile}{EM} = 45^{\circ}.

Пусть

O

— центр вписанной в треугольник

ABC

окружности

\omega_1

\triangle BEK

— равнобедренный, так как

BE=BK

— отрезки касательных, проведённых из одной точки. Тогда у двух равнобедренных треугольников

BEK

EKH

общее основание

EK

, следовательно, высоты, проведённые к основанию, проходят через середину

EK

и лежат на одной прямой

BH

.

Пусть

BH \cap EK = T

, тогда

ET = TK

\dfrac{CH}{EK} = \dfrac{CH}{2ET}

\triangle BET \sim \triangle BCH

по двум углам (угол

CBH

— общий,

\angle{BEK} = \angle{ECH}

из пункта а). Получаем:

\dfrac{CH}{EK} = \dfrac{CH}{2ET} = \dfrac{BC}{2BE}.

По теореме Пифагора в треугольнике

ABC

получаем:

AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17.

Вычислим радиус вписанной окружности в треугольнике

ABC

r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot AC \cdot BC}{\dfrac{1}{2}\left(AC+BC+AB\right)} = \dfrac{ 15\cdot 8}{15+8+17} = \dfrac{120}{40} = 3.

Так как

CEOM

— квадрат, то

CE = r = 3

, тогда

BE = BC - CE = 8 - 3 = 5

.
Следовательно,

\dfrac{CH}{EK} = \dfrac{CH}{2ET} = \dfrac{BC}{2BE} = \dfrac{8}{2\cdot 5} = \dfrac{4}{5}.

Ответ:

\dfrac{4}{5}

Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи