Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаЕГЭ 2026 (резерв)

В треугольнике

ABC

угол

ABC

равен

60^{\circ}

. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны

AC

в точке

M

.

а) Докажите, что отрезок

BM

не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите

\sin\angle BMC

, если известно, что отрезок

BM

2,8

раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Решение

а) Пусть

O

— центр окружности, вписанной в треугольник

ABC

r

— её радиус.

BO

— биссектриса угла

ABC

, значит,

\angle{OBC} = 30^{\circ}

.

Пусть

H

— точка касания окружности и

BC

. Рассмотрим прямоугольный треугольник

BHO

, тогда

BO = 2OH = 2r

OM

— радиус, проведённый в точку касания, то есть

OM = r

OM \perp AC

.

Заметим, что точка

O

лежит на прямой

BM

, если совпадают биссектриса и высота к стороне

AC

треугольника

ABC

. Так как

\angle{ABC} = 60^{\circ}

, то это возможно только в случае, когда

ABC

— равносторонний треугольник. Тогда

BM = BO + OM = 2r + r = 3r.

Если же

ABC

не является равносторонним, то

BOM

— невырожденный треугольник. По неравенству треугольника в треугольнике

BOM

получаем:

BM < BO + OM = 2r + r = 3r.

Итого, получаем:

BM \leqslant 3r

б) Заметим, что

\angle{BMC} = \angle{OMC} + \angle{BMO};

Значит,

\sin{\angle{BMC}} = \sin{(90^{\circ} + \angle{BMO})} = \cos{\angle{BMO}}.

По теореме косинусов в треугольнике

BOM

получаем:

BO^2 = BM^2 + OM^2 - 2\cdot BM\cdot OM\cdot \cos{\angle{BMO}};

4r^2 = 7,84r^2 + r^2 - 2\cdot 2,8\cdot r \cdot \cos{\angle{BMO}};

\cos{\angle{BMO}} = \dfrac{4,84}{5,6} = \dfrac{484}{560} = \dfrac{121}{140}.

Ответ:

\dfrac{121}{140}

Похожие задачи