В треугольнике ABC угол ABC равен 60∘. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,8 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Решение
а) Пусть O -- центр окружности, вписанной в треугольник ABC,r -- её радиус. BO -- биссектриса угла ABC, значит, ∠OBC=30∘.
Пусть H -- точка касания окружности и BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHO, тогда BO=2OH=2r.OM -- радиус, проведённый в точку касания, то есть OM=r и OM⊥AC.
Заметим, что точка O лежит на прямой BM, если совпадают биссектриса и высота к стороне AC треугольника ABC. Так как ∠ABC=60∘, то это возможно только в случае, когда ABC -- равносторонний треугольник. Тогда
BM=BO+OM=2r+r=3r.
Если же ABC не является равносторонним, то BOM -- невырожденный треугольник. По неравенству треугольника в треугольнике BOM получаем:
BM<BO+OM=2r+r=3r. Итого, получаем: BM⩽3r.
б) Заметим, что
∠BMC=∠OMC+∠BMO; Значит,
sin∠BMC=sin(90∘+∠BMO)=cos∠BMO. По теореме косинусов в треугольнике BOM получаем:
BO2=BM2+OM2−2⋅BM⋅OM⋅cos∠BMO;4r2=7,84r2+r2−2⋅2,8⋅r⋅cos∠BMO; cos∠BMO=5,64,84=560484=140121. Ответ: 140121.
