Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаЕГЭ 2026 (Основная волна)

В равнобедренном остроугольном треугольнике

ABC

проведены высоты

AH

CT

к боковым сторонам

BC

AB

. Отрезки

HM

HK

— перпендикуляры к прямым

AB

AC

соответственно. Отрезки

CT

MK

пересекаются в точке

E

.

а) Докажите, что прямые

AB

EH

параллельны.

б) Найдите длину отрезка

ME

, если

AB = 5

AC = 6

Решение

а) Четырёхугольник

ATHC

— вписанный, так как

\angle ATC = \angle AHC = 90^{\circ}

(так как

AH

CT

высоты к боковым сторонам ). Следовательно, точка

H

лежит на окружности описанной около треугольника

ATC

. Из точки

H

на прямые, содержащие стороны этого треугольника, опущены перпендикуляры

HM

HK

. Тогда по теореме Симсона перпендикуляр из точки

H

к стороне

TC

лежит на прямой

MK

(основания всех трех перпендикуляров будут лежать на одной прямой — прямой

MK

, которая является прямой Симсона). Следовательно, так как

HE

пересекает

TC

в точке

E

, то

HE

перпендикуляр к

TC

. Получаем, что

HE \perp TC

BT \perp TC

, то есть

AB \parallel HE

, ч.т.д.

а) Четырёхугольник

AMHK

— вписанный, так как

\angle AMH + \angle HKA = 180^{\circ}

. Значит,

\angle AMK = \angle AHK

как вписанные и опирающиеся на одну дугу.

\angle KHC = 90^{\circ} - \angle AHK

, значит,

\angle KCH = \angle AHK = \angle BAC

(как углы при основании равнобедренного треугольника).

\triangle MTH = \triangle TME

по стороне и двум прилежащим к ней углам, так как
— сторона

TM

общая,
—

\angle BTH = \angle TME

(

\angle BTH = \angle BAC

— как соответственные при

TH\parallel AC

и секущей

AB

, а выше доказали, что

\angle BAC=\angle AHK

),
—

\angle MTE = \angle TMH=90^{\circ}

.
Из равенства треугольников получаем, что

MH = TE

. С учётом

MH\parallel TE

получаем, что четырёхугольник

MHET

— это прямоугольник, тогда

MT \parallel HE

, ч.т.д.

б)

BP

— высота, медиана и биссектриса в треугольнике

ABC

, значит,

AP = PC = 3

.
Из треугольника

ABP

по теореме Пифагора:

AB^2 = BP^2 + AP^2, \quad BP = \sqrt{AB^2 - AP^2} = \sqrt{25 - 9} = 4.

Найдём площадь

ABC

S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}BP \cdot AC = \dfrac{1}{2} AH \cdot BC; \quad AH = \dfrac{BP \cdot AC}{BC} = \dfrac{6\cdot 4}{5} = 4,8.

Из треугольника

ACH

по теореме Пифагора:

AC^2 = CH^2 + AH^2, \quad CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{36 - 23,04} = 3,6.

Тогда

BH = BC - CH = 5 - 3,6 = 1,4

.
Так как

\angle ABC

— общий, а

\angle BTH = \angle BAC

, то

\triangle BTH \sim \triangle BAC

по двум углам, значит, справедливы следующие отношения сторон:

\dfrac{TH}{AC} = \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{1,4}{5} = \dfrac{7}{25}, \quad TH = \dfrac{7}{25}AC = \dfrac{42}{25}.

По свойству диагоналей прямоугольника

HETM

получаем, что

ME=TH = \dfrac{42}{25}

.
Ответ:

\dfrac{42}{25}

Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи