В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и CT к боковым сторонам BC и AB. Отрезки HM и HK --- перпендикуляры к прямым AB и AC соответственно. Отрезки CT и MK пересекаются в точке E.
а) Докажите, что прямые AB и EH параллельны.
б) Найдите длину отрезка ME, если AB=5 и AC=6.
Решение
а) Четырёхугольник ATHC -- вписанный, так как ∠ATC=∠AHC=90∘ (так как AH и CT высоты к боковым сторонам ). Следовательно, точка H лежит на окружности описанной около треугольника ATC. Из точки H на прямые, содержащие стороны этого треугольника, опущены перпендикуляры HM и HK. Тогда по теореме Симсона перпендикуляр из точки H к стороне TC лежит на прямой MK (основания всех трех перпендикуляров будут лежать на одной прямой -- прямой MK, которая является прямой Симсона). Следовательно, так как HE пересекает TC в точке E, то HE перпендикуляр к TC. Получаем, что HE⊥TC и BT⊥TC, то есть AB∥HE, ч.т.д.
а) Четырёхугольник AMHK -- вписанный, так как ∠AMH+∠HKA=180∘. Значит, ∠AMK=∠AHK как вписанные и опирающиеся на одну дугу.
∠KHC=90∘−∠AHK, значит, ∠KCH=∠AHK=∠BAC (как углы при основании равнобедренного треугольника).
△MTH=△TME по стороне и двум прилежащим к ней углам, так как
-- сторона TM общая,
-- ∠BTH=∠TME (∠BTH=∠BAC -- как соответственные при TH∥AC и секущей AB, а выше доказали, что ∠BAC=∠AHK),
-- ∠MTE=∠TMH=90∘. Из равенства треугольников получаем, что MH=TE. С учётом MH∥TE получаем, что четырёхугольник MHET -- это прямоугольник, тогда MT∥HE, ч.т.д.
б) BP -- высота, медиана и биссектриса в треугольнике ABC, значит, AP=PC=3. Из треугольника ABP по теореме Пифагора:
AB2=BP2+AP2,BP=AB2−AP2=25−9=4. Найдём площадь ABC: S△ABC=21BP⋅AC=21AH⋅BC;AH=BCBP⋅AC=56⋅4=4,8. Из треугольника ACH по теореме Пифагора:
AC2=CH2+AH2,CH=AC2−AH2=36−23,04=3,6. Тогда BH=BC−CH=5−3,6=1,4. Так как ∠ABC -- общий, а ∠BTH=∠BAC, то △BTH∼△BAC по двум углам, значит, справедливы следующие отношения сторон:
ACTH=BCBH=51,4=257,TH=257AC=2542. По свойству диагоналей прямоугольника HETM получаем, что ME=TH=2542. Ответ: 2542.
