Дан прямоугольный треугольник ABC и окружность в нём, касающаяся катетов AC,BC и гипотенузы AB в точках M,E и K соответственно. MH --- перпендикуляр к EK.
а) Доказать, что MK∥CH.
б) Известно, что AC=15,BC=8. Найти отношение MKCH.
Решение
а) ECM -- равнобедренный треугольник, так как EC и CM -- отрезки касательных, проведённых из одной точки. Значит, ∠CEM=∠CME=45∘.
CE -- касательная, EM -- хорда, поэтому
EM⌣=2⋅∠CEM=90∘, значит,
∠EKM=21⋅EM⌣=45∘.
∠ECM+∠EHM=180∘, поэтому вокруг четырёхугольника ECMH можно описать окружность ω. Углы CME и CHE опираются на одну дугу окружности ω, следовательно,
∠CME=∠CHE=45∘.
Итого, ∠EKM=∠CHE=45∘, значит, MK∥CH.
б) По теореме Пифагора в треугольнике ABC получаем:
AB=BC2+AC2=82+152=17.
∠KMH=90∘−∠MKH=45∘, значит, MH=HK, то есть △MHK -- равнобедренный.
Пусть прямая AH пересекает MK в точке T. △AMK -- равнобедренный, так как AM и AK -- отрезки касательных, проведённых из одной точки. Тогда у двух равнобедренных треугольников AMK и MHK общее основание~MK, следовательно, высоты, проведённые к основанию, проходят через середину MK и лежат на одной прямой AH. Получаем, что AH⊥MK и MT=TK.
Обозначим AK=x. Получаем:
EB=KB=AB−AK=17−x;CE=CM=BC−EB=8−17+x=x−9. С другой стороны,
CM=AC−AM=15−x. Значит,
15−x=x−9;2x=24;x=12.
Так как AH⊥MK, а также MK∥CH, поэтому AH⊥CH. Таким образом, треугольники CAH и MAT подобны по двум углам (угол CAH -- общий, ∠MTA=∠CHA=90∘). Получаем:
MTCH=MACA=1215=45. Так как MT=TK, то
MKCH=85.
