Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаЕГЭ 2026 (Основная волна)

Дан прямоугольный треугольник

ABC

и окружность в нём, касающаяся катетов

AC

BC

и гипотенузы

AB

в точках

M

E

K

соответственно.

MH

— перпендикуляр к

EK

.

а) Доказать, что

MK \parallel CH

.

б) Известно, что

AC = 15

BC = 8

. Найти отношение

\dfrac{CH}{MK}

Решение

а)

ECM

— равнобедренный треугольник, так как

EC

CM

— отрезки касательных, проведённых из одной точки. Значит,

\angle{CEM} = \angle{CME} = 45^{\circ}

CE

— касательная,

EM

— хорда, поэтому

\overset{\smile}{EM} = 2\cdot\angle{CEM} = 90^{\circ},

значит,

\angle{EKM} = \dfrac{1}{2}\cdot\overset{\smile}{EM} = 45^{\circ}.

\angle{ECM} + \angle{EHM} = 180^{\circ}

, поэтому вокруг четырёхугольника

ECMH

можно описать окружность

\omega

. Углы

CME

CHE

опираются на одну дугу окружности

\omega

, следовательно,

\angle{CME} = \angle{CHE} = 45^{\circ}.

Итого,

\angle{EKM} = \angle{CHE} = 45^{\circ}

, значит,

MK \parallel CH

б) По теореме Пифагора в треугольнике

ABC

получаем:

AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17.

\angle{KMH} = 90^{\circ} - \angle{MKH} = 45^{\circ}

, значит,

MH = HK

, то есть

\triangle MHK

-- равнобедренный.

Пусть прямая

AH

пересекает

MK

в точке

T

\triangle AMK

— равнобедренный, так как

AM

AK

— отрезки касательных, проведённых из одной точки. Тогда у двух равнобедренных треугольников

AMK

MHK

общее основание

MK

, следовательно, высоты, проведённые к основанию, проходят через середину

MK

и лежат на одной прямой

AH

. Получаем, что

AH \perp MK

MT = TK

.

Обозначим

AK = x

. Получаем:

EB = KB = AB - AK = 17 - x;

CE = CM = BC - EB = 8 - 17 + x = x - 9.

С другой стороны,

CM = AC - AM = 15 - x.

Значит,

15 - x = x - 9;

2x = 24;

x=12.

Так как

AH \perp MK

, а также

MK \parallel CH

, поэтому

AH \perp CH

. Таким образом, треугольники

CAH

MAT

подобны по двум углам (угол

CAH

— общий,

\angle{MTA} = \angle{CHA} = 90^{\circ}

). Получаем:

\dfrac{CH}{MT} = \dfrac{CA}{MA} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}.

Так как

MT = TK

, то

\dfrac{CH}{MK} = \dfrac{5}{8}.

Ответ:

\dfrac{5}{8}

Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи