Для студентов Для учителей

Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрическая задачаЕГЭ 2026 (Основная волна)

Окружность с центром

O

касается боковых сторон

AB

и

BC

равнобедренного треугольника

ABC

, а также его высоты

CH

.

а) Докажите, что

\angle AOC = 90^\circ

.

б) Найдите площадь треугольника

ABC

, если

BO = 7

,

AC = 16

.

Решение

а) Пусть

\angle BAC = \angle BCA = \alpha

.
Тогда в

\triangle ACH

:

\angle ACH = 90^{\circ} - \alpha.

\angle BCH = \angle BCA - \angle ACH = \alpha - (90^{\circ} - \alpha) = 2\alpha - 90^{\circ}.

Так как

O

-- центр вписанной окружности в

\triangle BCH

, то

HO

и

CO

-- биссектрисы углов

\angle BHC

и

\angle HCB

соответственно,

\angle BHO = \angle OHC = 45^{\circ}

, а

\angle OCH = \angle BCO = \alpha - 45^{\circ}

.

В

\triangle COH

по теореме о сумме углов:

\angle COH = 180^{\circ} - 45^{\circ} - (\alpha - 45^{\circ}) = 180^{\circ} - \alpha.

Так как

\angle COH + \angle CAH = 180^{\circ}

, то

AHOC

-- вписанный, а

\angle AHC = \angle AOC = 90^{\circ}

как вписанные и опирающиеся на одну дугу

AC

, ч.т.д.

б)

BO

-- биссектриса угла

\angle ABC

.
Пусть

BM

-- медиана, биссектриса и высота в

\triangle ABC

. Точка

O

лежит на

BM

, так как

BO

и

BM

биссектрисы одного угла. Тогда

OM

-- медиана прямоугольного треугольника

AOC

, проведённая из вершины прямого угла, то есть

OM = \dfrac{1}{2}AC = 8

.
Тогда

BM = AO + OM = 7 + 8 =15

и

S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} BM \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 16 = 120.

Ответ: 120.