Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC, а также его высоты CH.
а) Докажите, что ∠AOC=90∘.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если BO=7,AC=16.
Решение
а) Пусть ∠BAC=∠BCA=α. Тогда в △ACH:∠ACH=90∘−α. ∠BCH=∠BCA−∠ACH=α−(90∘−α)=2α−90∘. Так как O -- центр вписанной окружности в △BCH, то HO и CO -- биссектрисы углов ∠BHC и ∠HCB соответственно, ∠BHO=∠OHC=45∘, а ∠OCH=∠BCO=α−45∘.
В △COH по теореме о сумме углов:
∠COH=180∘−45∘−(α−45∘)=180∘−α. Так как ∠COH+∠CAH=180∘, то AHOC -- вписанный, а ∠AHC=∠AOC=90∘ как вписанные и опирающиеся на одну дугу AC, ч.т.д.
б) BO -- биссектриса угла ∠ABC. Пусть BM -- медиана, биссектриса и высота в △ABC. Точка O лежит на BM, так как BO и BM биссектрисы одного угла. Тогда OM -- медиана прямоугольного треугольника AOC, проведённая из вершины прямого угла, то есть OM=21AC=8. Тогда BM=AO+OM=7+8=15 и S△ABC=21BM⋅AC=21⋅15⋅16=120.
