Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2023 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система

\begin{cases}(xy-x+7)(y-x+7)=0, \\y=3x+a\end{cases}

имеет ровно два решения.

Решение

Из первого уравнения получаем совокупность:

xy-x+7=0,\qquad \text{или} \qquady-x+7=0.

Первое уравнение задает гиперболу:

xy-x+7=0,

x(y-1)=-7,

y=1-\dfrac{7}{x}.

Второе уравнение задает прямую:

y=x-7.

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой:

\begin{cases}y=1-\dfrac{7}{x},\\y=x-7.\end{cases}

Приравниваем правые части:

1-\dfrac{7}{x}=x-7.

Умножим на

x

x-7=x^2-7x,

x^2-8x+7=0,

(x-1)(x-7)=0.

Отсюда

x_1=1,\qquad x_2=7.

Тогда

y_1=1-7=-6,

y_2=7-7=0.

Значит, получаем точки

P(1;-6),\qquad Q(7;0).

Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семейства

y=3x+a

имеют один и тот же коэффициент наклона, равный

3

. Значит, это семейство параллельных прямых.

Изобразим гиперболу, прямую

y=x-7

и граничные положения прямой

y=3x+a

Теперь найдем значения параметра, соответствующие этим граничным положениям.

Сначала найдем значения параметра, при которых прямая

y=3x+a

касается гиперболы

y=1-\dfrac{7}{x}.

Составим уравнение пересечения:

1-\dfrac{7}{x}=3x+a.

Умножим на

x

x-7=3x^2+ax,

3x^2+(a-1)x+7=0.

Для касания дискриминант должен быть равен нулю:

D=(a-1)^2-4\cdot 3\cdot 7=0,

(a-1)^2-84=0,

(a-1)^2=84,

a-1=\pm 2\sqrt{21}.

Значит,

a=1-2\sqrt{21}\qquad \text{или} \qquada=1+2\sqrt{21}.

Теперь найдем значение параметра, при котором прямая

y=3x+a

проходит через точку

P(1;-6)

-6=3\cdot 1+a,

a=-9.

Найдем значение параметра, при котором прямая

y=3x+a

проходит через точку

Q(7;0)

0=3\cdot 7+a,

a=-21.

По рисунку видно, что ровно два решения получаются именно в найденных четырех случаях:

a=-21,\qquad a=-9,\qquad a=1-2\sqrt{21},\qquad a=1+2\sqrt{21}.

Следовательно,

a\in\{-21;\,-9;\,1-2\sqrt{21};\,1+2\sqrt{21}\}.

Ответ:

\{-21;\,-9;\,1-2\sqrt{21};\,1+2\sqrt{21}\}

Похожие задачи