Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
{(xy−x+7)(y−x+7)=0,y=3x+a имеет ровно два решения.
Решение
Из первого уравнения получаем совокупность:
xy−x+7=0,илиy−x+7=0.
Первое уравнение задает гиперболу:
xy−x+7=0,x(y−1)=−7, y=1−x7.
Второе уравнение задает прямую:
y=x−7.
Найдем точки пересечения гиперболы и прямой:
⎩⎨⎧y=1−x7,y=x−7.
Приравниваем правые части:
1−x7=x−7.
Умножим на x:x−7=x2−7x,x2−8x+7=0,(x−1)(x−7)=0.
Отсюда
x1=1,x2=7.
Тогда
y1=1−7=−6,y2=7−7=0.
Значит, получаем точки
P(1;−6),Q(7;0).
Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семейства
y=3x+a имеют один и тот же коэффициент наклона, равный 3. Значит, это семейство параллельных прямых.
Изобразим гиперболу, прямую y=x−7 и граничные положения прямой y=3x+a:
Теперь найдем значения параметра, соответствующие этим граничным положениям.
Сначала найдем значения параметра, при которых прямая y=3x+a касается гиперболы
y=1−x7.
Составим уравнение пересечения:
1−x7=3x+a.
Умножим на x:x−7=3x2+ax,3x2+(a−1)x+7=0.
Для касания дискриминант должен быть равен нулю:
D=(a−1)2−4⋅3⋅7=0,(a−1)2−84=0,(a−1)2=84,a−1=±221.
Значит,
a=1−221илиa=1+221.
Теперь найдем значение параметра, при котором прямая y=3x+a проходит через точку P(1;−6):−6=3⋅1+a,a=−9.
Найдем значение параметра, при котором прямая y=3x+a проходит через точку Q(7;0):0=3⋅7+a,a=−21.
По рисунку видно, что ровно два решения получаются именно в найденных четырех случаях:
a=−21,a=−9,a=1−221,a=1+221.
