Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2023 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система

\begin{cases}(x^2+y^2+6x)\sqrt{x+y+6}=0, \\y=x+a\end{cases}

имеет ровно два решения.

Решение

Из первого уравнения получаем совокупность:

x+y+6=0,\qquad \text{или} \qquad\begin{cases}x^2+y^2+6x=0, \\x+y+6\geqslant 0.\end{cases}

Первое уравнение задает прямую

y=-x-6.

Второе уравнение преобразуем:

x^2+y^2+6x=0,

(x+3)^2+y^2=9.

Это окружность с центром

O(-3;0)

и радиусом

3

. При этом нас интересует только та часть окружности, для которой

x+y+6\geqslant 0,

то есть

y\geqslant -x-6.

Найдем точки пересечения окружности с прямой

y=-x-6

\begin{cases}(x+3)^2+y^2=9,\\y=-x-6.\end{cases}

Подставим

y=-x-6

в уравнение окружности:

(x+3)^2+(-x-6)^2=9.

Получаем:

x^2+6x+9+x^2+12x+36=9,

2x^2+18x+36=0,

x^2+9x+18=0.

Отсюда

x_1=-6,\qquad x_2=-3.

Тогда

y_1=-(-6)-6=0,

y_2=-(-3)-6=-3.

Значит, получаем точки

P(-6;0),\qquad Q(-3;-3).

Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семейства

y=x+a

имеют один и тот же коэффициент наклона, равный

1

. Значит, это семейство параллельных прямых.

Изобразим прямую, нужную часть окружности и четыре граничных положения прямой

y=x+a

Теперь найдем значения параметра, соответствующие этим граничным положениям.

Сначала найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку

P(-6;0)

0=-6+a,

a=6.

Теперь найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку

Q(-3;-3)

-3=-3+a,

a=0.

Теперь найдем значения параметра, при которых прямая

y=x+a

касается окружности.

Запишем эту прямую в общем виде:

x-y+a=0.

Чтобы прямая была касательной к окружности с центром

O(-3;0)

и радиусом

3

, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно

3

\dfrac{|-3+a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3.

Получаем:

\dfrac{|a-3|}{\sqrt2}=3,

|a-3|=3\sqrt2.

Отсюда

a=3-3\sqrt2\qquad \text{или} \qquada=3+3\sqrt2.

По рисунку видно, что два решения получаются в двух случаях.

Первый случай: прямая пересекает нужную дугу окружности в одной точке и прямую

y=-x-6

еще в одной точке. Это происходит при

a\in[0;6].

Второй случай: прямая касается нужной дуги окружности и еще пересекает прямую

y=-x-6

. Это происходит при

a=3-3\sqrt2\qquad \text{или} \qquada=3+3\sqrt2.

Следовательно,

a\in[0;6]\cup\{3-3\sqrt2;\ 3+3\sqrt2\}.

Ответ:

[0;6]\cup\{3-3\sqrt2;\ 3+3\sqrt2\}

Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи