Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ПараметрыЕГЭ 2023
Найдите все значения параметра aaa, при каждом из которых система
{(x2+y2+6x)x+y+6=0,y=x+a\begin{cases}
(x^2+y^2+6x)\sqrt{x+y+6}=0, \\
y=x+a
\end{cases}{(x2+y2+6x)x+y+6​=0,y=x+a​
имеет ровно два решения.

Решение

Из первого уравнения получаем совокупность:
x+y+6=0,или{x2+y2+6x=0,x+y+6⩾0.x+y+6=0,
\qquad \text{или} \qquad
\begin{cases}
x^2+y^2+6x=0, \\
x+y+6\geqslant 0.
\end{cases}x+y+6=0,или{x2+y2+6x=0,x+y+6⩾0.​

Первое уравнение задает прямую y=−x−6.y=-x-6.y=−x−6.

Второе уравнение преобразуем: x2+y2+6x=0,x^2+y^2+6x=0,x2+y2+6x=0, (x+3)2+y2=9.(x+3)^2+y^2=9.(x+3)2+y2=9.

Это окружность с центром O(−3;0)O(-3;0)O(−3;0) и радиусом 333. При этом нас интересует только та часть окружности, для которой x+y+6⩾0,x+y+6\geqslant 0,x+y+6⩾0,
то есть y⩾−x−6.y\geqslant -x-6.y⩾−x−6.

Найдем точки пересечения окружности с прямой y=−x−6y=-x-6y=−x−6:
{(x+3)2+y2=9,y=−x−6.\begin{cases}
(x+3)^2+y^2=9,\\
y=-x-6.
\end{cases}{(x+3)2+y2=9,y=−x−6.​

Подставим y=−x−6y=-x-6y=−x−6 в уравнение окружности: (x+3)2+(−x−6)2=9.(x+3)^2+(-x-6)^2=9.(x+3)2+(−x−6)2=9.

Получаем: x2+6x+9+x2+12x+36=9,x^2+6x+9+x^2+12x+36=9,x2+6x+9+x2+12x+36=9, 2x2+18x+36=0,2x^2+18x+36=0,2x2+18x+36=0, x2+9x+18=0.x^2+9x+18=0.x2+9x+18=0.

Отсюда x1=−6,x2=−3.x_1=-6,\qquad x_2=-3.x1​=−6,x2​=−3.

Тогда y1=−(−6)−6=0,y_1=-(-6)-6=0,y1​=−(−6)−6=0, y2=−(−3)−6=−3.y_2=-(-3)-6=-3.y2​=−(−3)−6=−3.

Значит, получаем точки P(−6;0),Q(−3;−3).P(-6;0),\qquad Q(-3;-3).P(−6;0),Q(−3;−3).

Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семейства y=x+ay=x+ay=x+a
имеют один и тот же коэффициент наклона, равный 111. Значит, это семейство параллельных прямых.

Изобразим прямую, нужную часть окружности и четыре граничных положения прямой y=x+ay=x+ay=x+a:
Изображение 1

Теперь найдем значения параметра, соответствующие этим граничным положениям.

Сначала найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку P(−6;0)P(-6;0)P(−6;0): 0=−6+a,0=-6+a,0=−6+a, a=6.a=6.a=6.

Теперь найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку Q(−3;−3)Q(-3;-3)Q(−3;−3): −3=−3+a,-3=-3+a,−3=−3+a, a=0.a=0.a=0.

Теперь найдем значения параметра, при которых прямая y=x+ay=x+ay=x+a касается окружности.

Запишем эту прямую в общем виде: x−y+a=0.x-y+a=0.x−y+a=0.

Чтобы прямая была касательной к окружности с центром O(−3;0)O(-3;0)O(−3;0) и радиусом 333, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно 333:
∣−3+a∣12+(−1)2=3.\dfrac{|-3+a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=3.12+(−1)2​∣−3+a∣​=3.

Получаем:
∣a−3∣2=3,\dfrac{|a-3|}{\sqrt2}=3,2​∣a−3∣​=3, ∣a−3∣=32.|a-3|=3\sqrt2.∣a−3∣=32​.

Отсюда a=3−32илиa=3+32.a=3-3\sqrt2
\qquad \text{или} \qquad
a=3+3\sqrt2.a=3−32​илиa=3+32​.

По рисунку видно, что два решения получаются в двух случаях.

Первый случай: прямая пересекает нужную дугу окружности в одной точке и прямую y=−x−6y=-x-6y=−x−6 еще в одной точке. Это происходит при a∈[0;6].a\in[0;6].a∈[0;6].

Второй случай: прямая касается нужной дуги окружности и еще пересекает прямую y=−x−6y=-x-6y=−x−6. Это происходит при a=3−32илиa=3+32.a=3-3\sqrt2
\qquad \text{или} \qquad
a=3+3\sqrt2.a=3−32​илиa=3+32​.

Следовательно, a∈[0;6]∪{3−32; 3+32}.a\in[0;6]\cup\{3-3\sqrt2;\ 3+3\sqrt2\}.a∈[0;6]∪{3−32​; 3+32​}.

Ответ: [0;6]∪{3−32; 3+32}[0;6]\cup\{3-3\sqrt2;\ 3+3\sqrt2\}[0;6]∪{3−32​; 3+32​}.