Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромМЦКО

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} (x - a)^2 + y^2 = 9,\\ x^2 - xy - x + 2y - 2 = 0 \end{cases}

имеет ровно

4

различных решения.

Решение

Рассмотрим второе уравнение системы как квадратное относительно

x

x^2 - x(y + 1) + 2y - 2 = 0;

D = (y + 1)^2 - 4(2y - 2) = y^2 + 2y + 1 - 8y + 8 = (y - 3)^2;

x_1 = \dfrac{y + 1 + y - 3}{2} = y - 1, \quad x_1 = \dfrac{y + 1 - y + 3}{2} = 2.

В плоскости

Oxy

второе уравнение задаёт пару прямых

x - 2 = 0

x - y + 1 = 0

.

Второе уравнение задаёт окружность с центром в точке

O(a; 0)

радиуса

3

.

Прямая и окружность имеют не более двух общих точек, значит, для того, чтобы система имела

4

решения, расстояние от центра окружности до обеих прямых должны быть меньше радиуса.

Найдём точку пересечения прямых:

y - 1 = 2,\quad\Rightarrow\quad y = 3,

то есть точкой пересечения является

(2; 3)

. Подставим в уравнение окружности:

(2 - a)^2 + 3^2 = 9;

(2 - a)^2 = 0;

a = 2.

Найдём значения

a

, при которых расстояние от точки

(a; 0)

до прямой

\ell_1 : x - 2 = 0

меньше радиуса окружности:

\dfrac{|a - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} < 3;

|a - 2| < 3;

-3 < a - 2 < - 2;

-1 < a < 5.

Найдём значения

a

, при которых расстояние от точки

(a; 0)

до прямой

\ell_1 : x - y + 1 = 0

меньше радиуса окружности:

\dfrac{|a + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} < 3;

|a + 1| < 3\sqrt{2};

-3\sqrt{2} < a + 1 < 3\sqrt{2};

-1 - 3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2} - 1.

Пересечём полученные множества:

С учётом, того, что

a \neq 2

, получаем окончательный ответ:

a \in (-1;2)\cup (2; 3\sqrt{2} - 1)

.

Ответ:

(-1;2)\cup (2; 3\sqrt{2} - 1)

Похожие задачи