Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{(x−a)2+y2=9,x2−xy−x+2y−2=0 имеет ровно 4 различных решения.
Решение
Рассмотрим второе уравнение системы как квадратное относительно x:x2−x(y+1)+2y−2=0;D=(y+1)2−4(2y−2)=y2+2y+1−8y+8=(y−3)2; x1=2y+1+y−3=y−1,x1=2y+1−y+3=2. В плоскости Oxy второе уравнение задаёт пару прямых x−2=0 и x−y+1=0.
Второе уравнение задаёт окружность с центром в точке O(a;0) радиуса 3.
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек, значит, для того, чтобы система имела 4 решения, расстояние от центра окружности до обеих прямых должны быть меньше радиуса.
Найдём точку пересечения прямых:
y−1=2,⇒y=3, то есть точкой пересечения является (2;3). Подставим в уравнение окружности:
(2−a)2+32=9;(2−a)2=0;a=2. Найдём значения a, при которых расстояние от точки (a;0) до прямой ℓ1:x−2=0 меньше радиуса окружности:
12+02∣a−2∣<3;∣a−2∣<3;−3<a−2<−2;−1<a<5. Найдём значения a, при которых расстояние от точки (a;0) до прямой ℓ1:x−y+1=0 меньше радиуса окружности:
12+12∣a+1∣<3;∣a+1∣<32;−32<a+1<32;−1−32<a<32−1. Пересечём полученные множества:
С учётом, того, что a=2, получаем окончательный ответ: a∈(−1;2)∪(2;32−1).
