Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2023 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система

\begin{cases}(x^2-7x+8-y)\sqrt{x-y+8}=0, \\y=ax+a\end{cases}

имеет ровно два решения.

Решение

Из первого уравнения получаем совокупность:

x-y+8=0,\qquad \text{или} \qquad\begin{cases}x^2-7x+8-y=0, \\x-y+8\geqslant 0.\end{cases}

Первое уравнение задает прямую

y=x+8.

Второе уравнение задает параболу

y=x^2-7x+8.

При этом нас интересует только та часть параболы, для которой

x-y+8\geqslant 0,

то есть

y\leqslant x+8.

Найдем точки пересечения параболы и прямой

y=x+8

x^2-7x+8=x+8,

x^2-8x=0,

x(x-8)=0.

Отсюда

x_1=0,\qquad x_2=8.

Тогда

y_1=0+8=8,

y_2=8+8=16.

Значит, получаем точки

A(0;8),\qquad B(8;16).

Следовательно, из всей параболы нам нужна только дуга от точки

A

до точки

B

.

Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семейства

y=ax+a

можно записать в виде

y=a(x+1).

Значит, все эти прямые проходят через точку

C(-1;0)

.

Изобразим прямую

y=x+8

, нужную часть параболы и граничные положения прямой

y=ax+a

Теперь найдем значения параметра, соответствующие этим граничным положениям.

Сначала найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку

A(0;8)

8=a\cdot 0+a,

a=8.

Теперь найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку

B(8;16)

16=8a+a,

16=9a,

a=\dfrac{16}{9}.

Найдем значение параметра, при котором прямая

y=ax+a

параллельна прямой

y=x+8

.

У прямой

y=x+8

коэффициент наклона равен

1

, значит,

a=1.

Теперь найдем касательные к параболе.

Составим уравнение:

x^2-7x+8=ax+a,

x^2-(7+a)x+8-a=0.

Для касания дискриминант должен быть равен нулю:

D=(7+a)^2-4(8-a)=0.

Получаем:

49+14a+a^2-32+4a=0,

a^2+18a+17=0.

Отсюда

a=-1\qquad \text{или} \qquada=-17.

Проверим, какая точка касания лежит на нужной части параболы.

Если

a=-1

, то

x^2-6x+9=0,

(x-3)^2=0,

x=3.

Так как

3\in[0;8]

, это касание подходит.

Если

a=-17

, то

x^2+10x+25=0,

(x+5)^2=0,

x=-5.

Но

-5\notin[0;8]

, значит, эта точка касания лежит вне нужной части параболы.

По рисунку видно, что два решения получаются в трех случаях.

Первый случай: прямая касается нужной части параболы и еще пересекает прямую

y=x+8

. Это происходит при

a=-1.

Второй случай: прямая параллельна прямой

y=x+8

, поэтому с ней не пересекается, но пересекает нужную часть параболы в двух точках. Это происходит при

a=1.

Третий случай: прямая пересекает нужную часть параболы в одной точке и прямую

y=x+8

еще в одной точке. Это происходит при

a\in\left[\dfrac{16}{9};8\right).

При

a=\dfrac{16}{9}

прямая проходит через точку

B

, и эта точка одновременно лежит и на параболе, и на прямой

y=x+8

, поэтому остается ровно два решения. При

a=8

прямая проходит через точку

A

, и решение получается только одно, поэтому

a=8

не входит.

Следовательно,

a\in\{-1;\,1\}\cup\left[\dfrac{16}{9};8\right).

Ответ:

\{-1;\,1\}\cup\left[\dfrac{16}{9};8\right)

Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи