Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
{(x2−7x+8−y)x−y+8=0,y=ax+a имеет ровно два решения.
Решение
Из первого уравнения получаем совокупность:
x−y+8=0,или{x2−7x+8−y=0,x−y+8⩾0.
Первое уравнение задает прямую
y=x+8.
Второе уравнение задает параболу
y=x2−7x+8.
При этом нас интересует только та часть параболы, для которой
x−y+8⩾0, то есть
y⩽x+8.
Найдем точки пересечения параболы и прямой y=x+8:x2−7x+8=x+8,x2−8x=0,x(x−8)=0.
Отсюда
x1=0,x2=8.
Тогда
y1=0+8=8,y2=8+8=16.
Значит, получаем точки
A(0;8),B(8;16).
Следовательно, из всей параболы нам нужна только дуга от точки A до точки B.
Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семейства
y=ax+a можно записать в виде
y=a(x+1).
Значит, все эти прямые проходят через точку C(−1;0).
Изобразим прямую y=x+8, нужную часть параболы и граничные положения прямой y=ax+a:
Теперь найдем значения параметра, соответствующие этим граничным положениям.
Сначала найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку A(0;8):8=a⋅0+a,a=8.
Теперь найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку B(8;16):16=8a+a,16=9a, a=916.
Найдем значение параметра, при котором прямая y=ax+a параллельна прямой y=x+8.
У прямой y=x+8 коэффициент наклона равен 1, значит,
a=1.
Теперь найдем касательные к параболе.
Составим уравнение:
x2−7x+8=ax+a,x2−(7+a)x+8−a=0.
Для касания дискриминант должен быть равен нулю:
D=(7+a)2−4(8−a)=0.
Получаем:
49+14a+a2−32+4a=0,a2+18a+17=0.
Отсюда
a=−1илиa=−17.
Проверим, какая точка касания лежит на нужной части параболы.
Если a=−1, то
x2−6x+9=0,(x−3)2=0,x=3.
Так как 3∈[0;8], это касание подходит.
Если a=−17, то
x2+10x+25=0,(x+5)2=0,x=−5.
Но −5∈/[0;8], значит, эта точка касания лежит вне нужной части параболы.
По рисунку видно, что два решения получаются в трех случаях.
Первый случай: прямая касается нужной части параболы и еще пересекает прямую y=x+8. Это происходит при
a=−1.
Второй случай: прямая параллельна прямой y=x+8, поэтому с ней не пересекается, но пересекает нужную часть параболы в двух точках. Это происходит при
a=1.
Третий случай: прямая пересекает нужную часть параболы в одной точке и прямую y=x+8 еще в одной точке. Это происходит при
a∈[916;8).
При a=916 прямая проходит через точку B, и эта точка одновременно лежит и на параболе, и на прямой y=x+8, поэтому остается ровно два решения. При a=8 прямая проходит через точку A, и решение получается только одно, поэтому a=8 не входит.
