Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
{(x2+y2+4x)2x+y+6=0,y=a(x−2) имеет ровно два решения.
Решение
Из первого уравнения получаем совокупность:
2x+y+6=0,или{x2+y2+4x=0,2x+y+6⩾0.
Первое уравнение задает прямую
y=−2x−6.
Второе уравнение преобразуем:
x2+y2+4x=0,(x+2)2+y2=4.
Это окружность с центром O(−2;0) и радиусом 2. При этом нас интересует только та часть окружности, для которой
2x+y+6⩾0, то есть
y⩾−2x−6.
Найдем точки пересечения окружности с прямой y=−2x−6: {(x+2)2+y2=4,y=−2x−6.
Подставим y=−2x−6 в уравнение окружности:
(x+2)2+(−2x−6)2=4.
Получаем:
x2+4x+4+4x2+24x+36=4,5x2+28x+36=0.
Отсюда
x1=−2,x2=−518.
Тогда
y1=−2⋅(−2)−6=−2, y2=−2⋅(−518)−6=56.
Значит, получаем точки
P(−2;−2),Q(−518;56).
Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семейства
y=a(x−2) проходят через точку A(2;0).
Изобразим прямую, нужную часть окружности и четыре граничных положения прямой y=a(x−2): \img{1}
Теперь найдем значения параметра, соответствующие граничным положениям прямой y=a(x−2).
Сначала найдем касательные к окружности, проведенные из точки A(2;0).
Запишем прямую y=a(x−2) в общем виде:
ax−y−2a=0.
Чтобы эта прямая была касательной к окружности с центром O(−2;0) и радиусом 2, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно 2: a2+1∣a⋅(−2)−0−2a∣=2.
Тогда
a2+14∣a∣=2,2∣a∣=a2+1.
Возведем в квадрат:
4a2=a2+1,3a2=1, a=±31.
Теперь найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку P(−2;−2):−2=a(−2−2),−2=−4a, a=21.
Найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку Q(−518;56): 56=a(−518−2), 56=a⋅(−528),6=−28a, a=−143.
По рисунку видно, что два решения получаются в двух случаях.
Первый случай: прямая пересекает нужную дугу окружности в одной точке и прямую y=−2x−6 еще в одной точке. Это происходит при
a∈[−143;21].
Второй случай: прямая касается нужной дуги окружности и еще пересекает прямую y=−2x−6. Это происходит при
a=−31илиa=31.
