Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система{(x2+y2+4x)2x+y+6=0,y=a(x−2)имеет ровно два решения.
Решение
Из первого уравнения получаем совокупность:2x+y+6=0,или{x2+y2+4x=0,2x+y+6⩾0.Первое уравнение задает прямуюy=−2x−6.Второе уравнение преобразуем:x2+y2+4x=0,(x+2)2+y2=4.Это окружность с центром O(−2;0) и радиусом 2. При этом нас интересует только та часть окружности, для которой2x+y+6⩾0,то естьy⩾−2x−6.Найдем точки пересечения окружности с прямой y=−2x−6:{(x+2)2+y2=4,y=−2x−6.Подставим y=−2x−6 в уравнение окружности:(x+2)2+(−2x−6)2=4.Получаем:x2+4x+4+4x2+24x+36=4,5x2+28x+36=0.Отсюдаx1=−2,x2=−518.Тогдаy1=−2⋅(−2)−6=−2,y2=−2⋅(−518)−6=56.Значит, получаем точкиP(−2;−2),Q(−518;56).Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семействаy=a(x−2)проходят через точку A(2;0).
Изобразим прямую, нужную часть окружности и четыре граничных положения прямой y=a(x−2):
Теперь найдем значения параметра, соответствующие граничным положениям прямой y=a(x−2).
Сначала найдем касательные к окружности, проведенные из точки A(2;0).
Запишем прямую y=a(x−2) в общем виде:ax−y−2a=0.Чтобы эта прямая была касательной к окружности с центром O(−2;0) и радиусом 2, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно 2:a2+1∣a⋅(−2)−0−2a∣=2.Тогдаa2+14∣a∣=2,2∣a∣=a2+1.Возведем в квадрат:4a2=a2+1,3a2=1,a=±31.Теперь найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку P(−2;−2):−2=a(−2−2),−2=−4a,a=21.Найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку Q(−518;56):56=a(−518−2),56=a⋅(−528),6=−28a,a=−143.По рисунку видно, что два решения получаются в двух случаях.
Первый случай: прямая пересекает нужную дугу окружности в одной точке и прямую y=−2x−6 еще в одной точке. Это происходит приa∈[−143;21].Второй случай: прямая касается нужной дуги окружности и еще пересекает прямую y=−2x−6. Это происходит приa=−31илиa=31.Следовательно,a∈[−143;21]∪{−31;31}.Ответ: [−143;21]∪{−31;31}.
