Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2023 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система

\begin{cases}(x^2+y^2+4x)\sqrt{2x+y+6}=0, \\y=a(x-2)\end{cases}

имеет ровно два решения.

Решение

Из первого уравнения получаем совокупность:

2x+y+6=0,\qquad \text{или} \qquad\begin{cases}x^2+y^2+4x=0, \\2x+y+6\geqslant 0.\end{cases}

Первое уравнение задает прямую

y=-2x-6.

Второе уравнение преобразуем:

x^2+y^2+4x=0,

(x+2)^2+y^2=4.

Это окружность с центром

O(-2;0)

и радиусом

2

. При этом нас интересует только та часть окружности, для которой

2x+y+6\geqslant 0,

то есть

y\geqslant -2x-6.

Найдем точки пересечения окружности с прямой

y=-2x-6

\begin{cases}(x+2)^2+y^2=4,\\y=-2x-6.\end{cases}

Подставим

y=-2x-6

в уравнение окружности:

(x+2)^2+(-2x-6)^2=4.

Получаем:

x^2+4x+4+4x^2+24x+36=4,

5x^2+28x+36=0.

Отсюда

x_1=-2,\qquad x_2=-\dfrac{18}{5}.

Тогда

y_1=-2\cdot(-2)-6=-2,

y_2=-2\cdot\left(-\dfrac{18}{5}\right)-6=\dfrac65.

Значит, получаем точки

P(-2;-2),\qquad Q\left(-\dfrac{18}{5};\dfrac65\right).

Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семейства

y=a(x-2)

проходят через точку

A(2;0)

.

Изобразим прямую, нужную часть окружности и четыре граничных положения прямой

y=a(x-2)

Теперь найдем значения параметра, соответствующие граничным положениям прямой

y=a(x-2)

.

Сначала найдем касательные к окружности, проведенные из точки

A(2;0)

.

Запишем прямую

y=a(x-2)

в общем виде:

ax-y-2a=0.

Чтобы эта прямая была касательной к окружности с центром

O(-2;0)

и радиусом

2

, расстояние от центра окружности до прямой должно быть равно

2

\dfrac{|a\cdot(-2)-0-2a|}{\sqrt{a^2+1}}=2.

Тогда

\dfrac{4|a|}{\sqrt{a^2+1}}=2,

2|a|=\sqrt{a^2+1}.

Возведем в квадрат:

4a^2=a^2+1,

3a^2=1,

a=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}.

Теперь найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку

P(-2;-2)

-2=a(-2-2),

-2=-4a,

a=\dfrac12.

Найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку

Q\left(-\dfrac{18}{5};\dfrac65\right)

\dfrac65=a\left(-\dfrac{18}{5}-2\right),

\dfrac65=a\cdot\left(-\dfrac{28}{5}\right),

6=-28a,

a=-\dfrac{3}{14}.

По рисунку видно, что два решения получаются в двух случаях.

Первый случай: прямая пересекает нужную дугу окружности в одной точке и прямую

y=-2x-6

еще в одной точке. Это происходит при

a\in\left[-\dfrac{3}{14};\dfrac12\right].

Второй случай: прямая касается нужной дуги окружности и еще пересекает прямую

y=-2x-6

. Это происходит при

a=-\dfrac{1}{\sqrt3}\qquad \text{или} \qquada=\dfrac{1}{\sqrt3}.

Следовательно,

a\in\left[-\dfrac{3}{14};\dfrac12\right]\cup\left\{-\dfrac{1}{\sqrt3};\dfrac{1}{\sqrt3}\right\}.

Ответ:

\left[-\dfrac{3}{14};\dfrac12\right]\cup\left\{-\dfrac{1}{\sqrt3};\dfrac{1}{\sqrt3}\right\}

Похожие задачи