Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
{(x2+y2+6y)−y−3=0,y=x+a имеет ровно два различных решения.
Решение
Будем решать задачу графически в плоскости Oxy.
Первое уравнение системы задаёт горизонтальную прямую y=−3 и дугу окружности x2+(y+3)2=9 с центром в точке (0;−3) радиуса 3, расположенную не выше прямой y=−3.
Второе уравнение системы задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным 1.
Найдём точки пересечения y=−3 и x2+(y+3)2=9:x2=9,x=±3. Получаем две точки пересечения: (−3;−3) и (3;−3).
Найдём значения a, при которых y=x+a касается окружности. Для этого вычислим расстояние от центра окружности O(0;−3) до прямой l:y−x−a=0: 12+12∣−3−a∣=3,32=∣a+3∣,a=−3±32. Заметим, что a=−3−32 соответствует нижнему касанию, а a=−3+32 -- верхнему. Так как у нас только нижняя дуга окружности, то подходит a=−3−32.
Начертим графики в системе Oxy и отметим ключевые положения прямой y=x+a. Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.
Положение I: прямая y=x+a касается окружности x2+(y+3)2=9, то есть a=−3−32. \par \medskip
Положение II: прямая y=x+a проходит через точку (3;−3), то есть a=−6.
Положение III: прямая y=x+a проходит через точку (−3;−3), то есть a=0.
Нам нужно два решения, что соответствует положению I и положениям между II и III, не включая III.
