Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромМЦКО

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}(x^2+y^2+6y)\sqrt{-y-3}=0,\\y=x+a\\\end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Будем решать задачу графически в плоскости

Oxy

.

Первое уравнение системы задаёт горизонтальную прямую

y = -3

и дугу окружности

x^2 + (y+3)^2 = 9

с центром в точке

(0;-3)

радиуса 3, расположенную не выше прямой

y = -3

.

Второе уравнение системы задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным 1.

Найдём точки пересечения

y = -3

x^2 + (y+3)^2 = 9

x^2 = 9, \quad x = \pm 3.

Получаем две точки пересечения:

(-3; -3)

(3;-3)

.

Найдём значения

a

, при которых

y = x + a

касается окружности. Для этого вычислим расстояние от центра окружности

O(0; -3)

до прямой

l

y - x - a = 0

\dfrac{|-3-a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 3, \quad 3\sqrt{2} = |a + 3|, \quad a = -3 \pm 3\sqrt{2}.

Заметим, что

a = -3-3\sqrt{2}

соответствует нижнему касанию, а

a = -3 + 3\sqrt{2}

-- верхнему. Так как у нас только нижняя дуга окружности, то подходит

a = -3 -3\sqrt{2}

.

Начертим графики в системе

Oxy

и отметим ключевые положения прямой

y=x+a

. Также подпишем количество решений в полученных промежутках и на их границах.

Положение I: прямая

y=x+a

касается окружности

x^2+(y+3)^2=9

, то есть

a = -3 -3\sqrt{2}

. \par \medskip

Положение II: прямая

y=x+a

проходит через точку

(3;-3)

, то есть

a = -6

.

Положение III: прямая

y=x+a

проходит через точку

(-3;-3)

, то есть

a = 0

.

Нам нужно два решения, что соответствует положению I и положениям между II и III, не включая III.

Значит,

a\in \{-3-3\sqrt{2}\} \cup [-6;0)

.

Ответ:

a\in \{-3-3\sqrt{2}\} \cup [-6;0)

Похожие задачи