Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
{(xy−x+8)y−x+8=0,y=2x+a имеет ровно два решения.
Решение
Из первого уравнения получаем совокупность:
y−x+8=0,или{xy−x+8=0,y−x+8⩾0.
Первое уравнение задает прямую
y=x−8.
Второе уравнение преобразуем:
xy−x+8=0,x(y−1)=−8, y=1−x8.
Это гипербола.
При этом нас интересует только та часть гиперболы, для которой
y−x+8⩾0, то есть
y⩾x−8.
Найдем точки пересечения гиперболы и прямой y=x−8: 1−x8=x−8.
Перенесем все в одну сторону:
1−x8−x+8=0, 9−x8−x=0.
Умножим на x:9x−8−x2=0,x2−9x+8=0,(x−1)(x−8)=0.
Отсюда
x1=1,x2=8.
Тогда
y1=1−8=−7,y2=8−8=0.
Значит, получаем точки
B(1;−7),A(8;0).
Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семейства
y=2x+a имеют один и тот же коэффициент наклона, равный 2. Значит, это семейство параллельных прямых.
Изобразим прямую y=x−8, нужную часть гиперболы и граничные положения прямой y=2x+a:
Теперь найдем значения параметра, соответствующие этим граничным положениям.
Сначала найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку A(8;0):0=2⋅8+a,0=16+a,a=−16.
Теперь найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку B(1;−7):−7=2⋅1+a,−7=2+a,a=−9.
Теперь найдем касательные к гиперболе y=1−x8.
Для этого прямая y=2x+a должна иметь с гиперболой ровно одну общую точку. Составим уравнение:
1−x8=2x+a,x−8=2x2+ax,2x2+(a−1)x+8=0.
Для касания дискриминант должен быть равен нулю:
D=(a−1)2−4⋅2⋅8=0,(a−1)2−64=0,(a−1)2=64.
Отсюда
a−1=±8,a=9илиa=−7.
По рисунку видно, что два решения получаются в двух случаях.
Первый случай: прямая касается нужной части гиперболы и еще пересекает прямую y=x−8. Это происходит при
a=−7илиa=9.
Второй случай: прямая пересекает нужную часть гиперболы в одной точке и прямую y=x−8 еще в одной точке. Это происходит при
a∈(−16;−9].
Действительно, при a=−9 прямая проходит через точку B, и, кроме того, имеет еще одну общую точку с гиперболой, поэтому решений ровно два. А при a=−16 прямая проходит через точку A, которая одновременно лежит и на гиперболе, и на прямой y=x−8, поэтому получается только одно решение.
