Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2023 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система

\begin{cases}(xy-x+8)\sqrt{y-x+8}=0, \\y=2x+a\end{cases}

имеет ровно два решения.

Решение

Из первого уравнения получаем совокупность:

y-x+8=0,\qquad \text{или} \qquad\begin{cases}xy-x+8=0, \\y-x+8\geqslant 0.\end{cases}

Первое уравнение задает прямую

y=x-8.

Второе уравнение преобразуем:

xy-x+8=0,

x(y-1)=-8,

y=1-\dfrac{8}{x}.

Это гипербола.

При этом нас интересует только та часть гиперболы, для которой

y-x+8\geqslant 0,

то есть

y\geqslant x-8.

Найдем точки пересечения гиперболы и прямой

y=x-8

1-\dfrac{8}{x}=x-8.

Перенесем все в одну сторону:

1-\dfrac{8}{x}-x+8=0,

9-\dfrac{8}{x}-x=0.

Умножим на

x

9x-8-x^2=0,

x^2-9x+8=0,

(x-1)(x-8)=0.

Отсюда

x_1=1,\qquad x_2=8.

Тогда

y_1=1-8=-7,

y_2=8-8=0.

Значит, получаем точки

B(1;-7),\qquad A(8;0).

Вернемся ко второму уравнению из условия. Все прямые семейства

y=2x+a

имеют один и тот же коэффициент наклона, равный

2

. Значит, это семейство параллельных прямых.

Изобразим прямую

y=x-8

, нужную часть гиперболы и граничные положения прямой

y=2x+a

Теперь найдем значения параметра, соответствующие этим граничным положениям.

Сначала найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку

A(8;0)

0=2\cdot 8+a,

0=16+a,

a=-16.

Теперь найдем значение параметра, при котором прямая проходит через точку

B(1;-7)

-7=2\cdot 1+a,

-7=2+a,

a=-9.

Теперь найдем касательные к гиперболе

y=1-\dfrac{8}{x}

.

Для этого прямая

y=2x+a

должна иметь с гиперболой ровно одну общую точку. Составим уравнение:

1-\dfrac{8}{x}=2x+a,

x-8=2x^2+ax,

2x^2+(a-1)x+8=0.

Для касания дискриминант должен быть равен нулю:

D=(a-1)^2-4\cdot 2\cdot 8=0,

(a-1)^2-64=0,

(a-1)^2=64.

Отсюда

a-1=\pm 8,

a=9\qquad \text{или} \qquada=-7.

По рисунку видно, что два решения получаются в двух случаях.

Первый случай: прямая касается нужной части гиперболы и еще пересекает прямую

y=x-8

. Это происходит при

a=-7\qquad \text{или} \qquada=9.

Второй случай: прямая пересекает нужную часть гиперболы в одной точке и прямую

y=x-8

еще в одной точке. Это происходит при

a\in(-16;-9].

Действительно, при

a=-9

прямая проходит через точку

B

, и, кроме того, имеет еще одну общую точку с гиперболой, поэтому решений ровно два. А при

a=-16

прямая проходит через точку

A

, которая одновременно лежит и на гиперболе, и на прямой

y=x-8

, поэтому получается только одно решение.

Следовательно,

a\in(-16;-9]\cup\{-7;9\}.

Ответ:

(-16;-9]\cup\{-7;9\}

Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи