Дано трёхзначное натуральное число (запись… — Теория чисел — ЕГЭ

Школьник

Студент

Преподаватель

Теория чиселЕГЭ 2026 (резерв)

Дано трёхзначное натуральное число (запись которого не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 70?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решение

Пусть

\overline{abc} = 100a + 10b + c

-- исходное число, с которым выполняется операция

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c}

.

а)

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 70, \quad 100a + 10b + c = 70a + 70b + 70c, \quad 30a = 60b + 69c, \quad 10a = 20b + 23c.

Последнее равенство верно при

a = 2

b = 1

c = 0

.

Например,

\dfrac{210}{2 + 1 + 0} = \dfrac{210}{3} = 70

.

б)

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 81, \quad 100a + 10b + c = 81a + 81b + 81c, \quad 19a = 71b + 80c.

Так как

a, b, c

-- это цифры, то

a \in \{1; 2; \ldots; 9\}

b, c \in \{0; 1; 2; \ldots; 9\}

. Тогда

19a \leqslant 19\cdot 9 = 171.

Рассмотрим возможные варианты.

При

b = 0

c=1

получаем

19a = 80

a = \dfrac{80}{19} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 1

c=0

получаем

19a = 71

a = \dfrac{71}{19} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 1

c=1

получаем

19a = 151

a = \dfrac{151}{19} \not \in \mathbb{N}

.

При

b > 1

c > 1

получаем, что правая часть больше левой, следовательно, равенство невозможно.

в) Выделим целую часть:

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 1 + \dfrac{99a + 9b}{a + b + c} \leqslant 1 + \dfrac{99a + 9b}{a + b} = 10 + \dfrac{90a}{a + b} \leqslant 10 + \dfrac{90a}{a + 1} = 10 + \dfrac{90a + 90}{a+1} - \dfrac{90}{a + 1}=

= 100 - \dfrac{90}{a+1} \leqslant 100 - \dfrac{90}{10} = 91.

Например,

\dfrac{910}{9 + 1 + 0} = \dfrac{910}{10} = 91

.

Ответ: а) да, б) нет, в) 91.

Теория чиселЕГЭ 2026 (резерв)

Решение

Пусть

\overline{abc} = 100a + 10b + c

-- исходное число, с которым выполняется операция

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c}

.

а)

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 70, \quad 100a + 10b + c = 70a + 70b + 70c, \quad 30a = 60b + 69c, \quad 10a = 20b + 23c.

Последнее равенство верно при

a = 2

b = 1

c = 0

.

Например,

\dfrac{210}{2 + 1 + 0} = \dfrac{210}{3} = 70

.

б)

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 81, \quad 100a + 10b + c = 81a + 81b + 81c, \quad 19a = 71b + 80c.

Так как

a, b, c

-- это цифры, то

a \in \{1; 2; \ldots; 9\}

b, c \in \{0; 1; 2; \ldots; 9\}

. Тогда

19a \leqslant 19\cdot 9 = 171.

Рассмотрим возможные варианты.

При

b = 0

c=1

получаем

19a = 80

a = \dfrac{80}{19} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 1

c=0

получаем

19a = 71

a = \dfrac{71}{19} \not \in \mathbb{N}

.

При

b = 1

c=1

получаем

19a = 151

a = \dfrac{151}{19} \not \in \mathbb{N}

.

При

b > 1

c > 1

получаем, что правая часть больше левой, следовательно, равенство невозможно.

в) Выделим целую часть:

\dfrac{100a + 10b + c}{a + b + c} = 1 + \dfrac{99a + 9b}{a + b + c} \leqslant 1 + \dfrac{99a + 9b}{a + b} = 10 + \dfrac{90a}{a + b} \leqslant 10 + \dfrac{90a}{a + 1} = 10 + \dfrac{90a + 90}{a+1} - \dfrac{90}{a + 1}=

= 100 - \dfrac{90}{a+1} \leqslant 100 - \dfrac{90}{10} = 91.

Например,

\dfrac{910}{9 + 1 + 0} = \dfrac{910}{10} = 91

.

Ответ: а) да, б) нет, в) 91.