Свойства чисел

Дано трёхзначное натуральное число (запись которого не может начинаться с нуля), не кратное 100. а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 70? б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81? в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

В блокноте записано больше 48, но меньше 52 целых чисел. Среднее арифметическое всех чисел равно -7. Среднее арифметическое всех положительных чисел равно 10, а отрицательных равно -15. а) Сколько чисел может быть написано в блокноте? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть написано?

Для чисел A и B, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили S — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для числа A=123 и B=579 получается сумма S=1·5+2·7+3·9=46. а) Существуют ли трёхзначные числа A и B, для которых S=100? б) Существуют ли пятизначные числа A и B, для которых S=400? в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой S для некоторых четырёхзначных чисел A и B?

В игре число a=4 и число b=5, за ход можно сделать (a-1;b+2) или (a+2;b-1). Новые числа a и b всегда положительные. а) Можно ли получить число 200 за 100 ходов? б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму, равную 300? в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает 200.

Дана правильная несократимая дробь ab, где a и b — натуральные числа. За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель — на два числителя, то есть получить несократимую дробь a+bb+2a. а) Можно ли из дроби 23 получить дробь 2941? б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь 67 за 2 хода? в) Дробь cd больше 710. Найдите минимальную дробь cd, которую нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.