Свойства чисел

Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть S — сумма 4 получившихся чисел. а) Может ли S=411124? б) Может ли S=5692972? в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 6 до 23 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего. а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 9? б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 8? в) Помимо полученных разностей соседних чисел, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности соседних чисел и чисел, стоящих через одно, были не меньше k?

Из цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, которые использовали по одному разу, составляют два числа: трёхзначное и четырёхзначное. Известно, что они оба кратны 45. а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2205? б) Может ли сумма этих чисел равна 3435? в) Чему равна наибольшая возможная сумма этих чисел?

Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным. a) Можно ли получить из число 128 число 29? б) Можно ли получить из число 128 число 31? в) Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?

Пусть a b обозначает двузначное число, равное 10 a+b, где a и b — десятичные цифры, a ≠ 0. a) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что a b·c d-b a·d c=297? б) Существуют ли такие попарно различные ненулевые цифры a, b, c и d, что a b·c d-b a·d c=1386, если среди цифр a, b, c и d есть цифра 7? в) Какое наибольшее значение может принимать выражение a b·c d-b a·d c, если среди цифр a, b, c и d есть цифры 4 и 7?

Четверо одноклассников играют в числа. Первый записал несколько необязательно различных двузначных чисел. Второй нашёл их сумму, и у него получилось 231. Третий поменял местами единицы и десятки в каждом числе, записанном первым. Четвёртый нашёл сумму чисел, получившихся у третьего. а) Может ли сумма чисел, найденная четвёртым, быть в 4 раза больше суммы, которую получил второй? б) Может ли сумма чисел, найденная четвёртым, быть в 3 раза больше суммы, которую получил второй? в) Какую наибольшую сумму может получить четвёртый?

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число. а) Может ли это отношение быть равным 67? б) Может ли это отношение быть равным 83? в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 6?

Юра и Оля играют в числа. Юра записывает различные натуральные числа, которые оканчиваются цифрой 6, а Оля — которые оканчиваются цифрой 8. Через некоторое время оказалось, что всего записано 50 чисел, а их сумма равна 8282. 1) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой 6, и чисел, оканчивающихся цифрой 8, записано поровну? 2) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой 6, записано ровно 49? 3) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся цифрой 8, могло быть записано?

а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что | mn - √(2)| ⩽1100? б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что | m^2n^2 - 2 | ⩽110000? в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения | n + 10n - √(2)| будет наименьшим.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 240? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 163? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 700 включительно?

Из правильной несократимой дроби ab, где a и b –— натуральные числа, за один ход получают дробь 2a+b3a+b. а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 14 получить дробь 6382? б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь 1116? в) Несократимая дробь cd больше 0,75. Найдите наименьшую дробь cd, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

Пусть ml обозначает двузначное число, равное 10m+l, где m и l — цифры, m 0. а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что ab·cd-ba·dc=99? б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что ab·cd-ba·dc=1485, если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5? в) Какое наибольшее значение может принимать выражение ab·cd-ba·dc, если цифры a, b, c и d различны и среди них есть цифры 4 и 6?

а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа n^2 и (n+22)^2 дают одинаковый остаток при делении на 50. б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством? в) Сколько существует двузначных чисел m < 50, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что n^2 и (n+m)^2 дают одинаковый остаток при делении на 50?

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 7, к каждому числу из второй группы —– цифру 9, а числа из третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 2 раза? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз? в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Пусть S(n) обозначает сумму цифр натурального числа n. а) Существует ли такое число n, что 2n + S(n) = 2026? б) Существует ли такое число n, что 4n + S(n) = 2026? в) Для какого наименьшего натурального числа k найдётся хотя бы одно такое двузначное число n, что 9kn+ S(n) = 10542?

а) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 500? б) Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 1250? в) Найдите все такие натуральные числа n, что каждое из чисел n, n+1 и n+2 трёхзначное, а десятичная запись их произведения n(n+1)(n+2) оканчивается на 4000.

Сумма цифр трёхзначного числа A равна S. а) Может ли произведение A· S быть равно 1105? б) Может ли произведение A· S быть равно 1106? в) Найдите наименьшее значение произведения A· S, если известно, что оно больше 3978.

Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых начинается с пятёрки, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа. а) Может ли у Полины получиться число 2? б) Может ли у Полины получиться число 15,5? в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?

Юра и Полина играют в числа. Юра придумывает два двузначных натуральных числа, одно из которых начинается с тройки, и, записав их произвольным образом друг за другом, составляет четырёхзначное число. Полина делит полученное Юрой четырёхзначное число на оба придуманных им числа. а) Может ли у Полины получиться число 3? б) Может ли у Полины получиться число 13,5? в) Какое наибольшее число может получиться у Полины?

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно A, среднее арифметическое чисел во второй группе равно B. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу. a) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше A+B2. б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно A+B2. в) Найдите наибольшее возможное значение выражения A+B2.

По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3 , а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3. а) Может ли N быть равным 360? б) Может ли N быть равным 149? в) Найдите наибольшее значение N.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10 , а затем к получившейся сумме прибавляют 3. a) Могло ли в результате такой операции получиться число 224? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314? в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.