а) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что | mn - √(2)| ⩽1100? б) Существуют ли двузначные натуральные числа m и n такие, что | m^2n^2 - 2 | ⩽110000? в) Найдите все возможные значения натурального числа n, при каждом из которых значение выражения | n + 10n - √(2)| будет наименьшим.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 240? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 163? в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 700 включительно?

Из правильной несократимой дроби ab, где a и b –— натуральные числа, за один ход получают дробь 2a+b3a+b. а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби 14 получить дробь 6382? б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь 1116? в) Несократимая дробь cd больше 0,75. Найдите наименьшую дробь cd, которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

Пусть ml обозначает двузначное число, равное 10m+l, где m и l — цифры, m 0. а) Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что ab·cd-ba·dc=99? б) Существуют ли такие различные ненулевые цифры a, b, c и d, что ab·cd-ba·dc=1485, если среди цифр a, b, c и d есть цифра 5? в) Какое наибольшее значение может принимать выражение ab·cd-ba·dc, если цифры a, b, c и d различны и среди них есть цифры 4 и 6?

а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа n^2 и (n+22)^2 дают одинаковый остаток при делении на 50. б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством? в) Сколько существует двузначных чисел m < 50, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что n^2 и (n+m)^2 дают одинаковый остаток при делении на 50?