На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 6 до 23 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 9?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 8?
в) Помимо полученных разностей соседних чисел, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности соседних чисел и чисел, стоящих через одно, были не меньше k?
Решение
а) Рассмотрим число 15. Если все разности соседних чисел должны быть не меньше 9, то рядом с числом 15 могут стоять только такие числа, которые отличаются от него хотя бы на 9.
Слева от 15 на расстоянии 9 находится число
15−9=6.
Справа от 15 на расстоянии 9 должно было бы находиться число
15+9=24.
Но числа 24 среди расставляемых чисел нет, так как используются только натуральные числа от 6 до 23.
Значит, среди данных чисел есть только одно число, которое может стоять рядом с 15, а именно число 6. Но на окружности у каждого числа есть два соседа. Поэтому число 15 не может иметь двух соседей, отличающихся от него не меньше чем на 9.
Следовательно, все полученные разности не могли быть не меньше 9.
б) Покажем, что это возможно.
Расставим числа по окружности, например, так:
В этой расстановке числа чередуются так:
6,15,7,16,8,17,9,18,10,19,11,20,12,21,13,22,14,23.
Проверим разности соседних чисел. Получаем:
15−6=9,15−7=8,16−7=9,16−8=8, и далее аналогично по всей окружности. Каждая разность соседних чисел не меньше 8.
Следовательно, такая расстановка существует.
в) Сначала покажем, что k⩾6 быть не может.
Разобьём все числа от 6 до 23 на три группы:
6,7,8,9,10,11;12,13,14,15,16,17;18,19,20,21,22,23.
Если k⩾6, то любые два числа из одной группы не могут стоять ни рядом, ни через одно, потому что разность любых двух чисел внутри одной группы меньше 6.
В каждой группе по 6 чисел, а всего на окружности 18 мест. Поэтому числа каждой группы должны стоять через два места. Иначе говоря, в любых трёх подряд идущих местах должно быть по одному числу из каждой группы.
Рассмотрим число 12. Среди чисел первой группы с ним может стоять рядом или через одно только число 6, так как
12−6=6, а для чисел 7,8,9,10,11 разность с числом 12 меньше 6.
Но вокруг числа 12 есть четыре места, которые проверяются по условию: два соседних места и два места через одно. По рассуждению выше среди этих четырёх мест должны быть два числа из первой группы и два числа из третьей группы.
Получаем противоречие: из первой группы около числа 12 может стоять только одно подходящее число, а нужно два.
Значит, k⩾6 невозможно, поэтому
k<6.
Теперь покажем, что k=5 достижимо.
Расставим числа по окружности, например, так:
Проверим разности соседних чисел. Все они равны либо 6, либо 11, либо 17, значит, все не меньше 5.
Теперь рассмотрим числа, стоящие через одно. Их разности равны либо 12, либо 5, либо 13, значит, они тоже не меньше 5.
Следовательно, можно так расставить числа, чтобы все разности соседних чисел и чисел, стоящих через одно, были не меньше 5.
Значит, значение k=5 достижимо.
Так как k⩾6 невозможно, а k=5 возможно, наибольшее значение равно
k=5.
