Дана правильная несократимая дробь ba, где a и b --- натуральные числа. За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель --- на два числителя, то есть получить несократимую дробь b+2aa+b.
а) Можно ли из дроби 32 получить дробь 4129?
б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь 76 за 2 хода?
в) Дробь dc больше 107. Найдите минимальную дробь dc, которую нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
Решение
\item За один ход из дроби 32 получаем:
32⟶3+2⋅22+3=75.
Сделаем второй ход:
75⟶7+2⋅55+7=1712.
И третий ход:
1712⟶17+2⋅1212+17=4129.
Значит, из дроби 32 можно получить дробь 4129.
\item Пусть исходная дробь равна yx, где x и y --- натуральные числа.
После первого хода получим дробь
2x+yx+y.
После второго хода числитель станет равен
(x+y)+(2x+y)=3x+2y, а знаменатель станет равен
(2x+y)+2(x+y)=4x+3y.
Значит, за два хода из дроби yx получается дробь
4x+3y3x+2y.
Предположим, что за два хода можно получить дробь 76. Тогда
4x+3y3x+2y=76.
Перемножим крест-накрест:
7(3x+2y)=6(4x+3y).
Раскроем скобки:
21x+14y=24x+18y.
Перенесем все в правую часть:
0=3x+4y.
Но x и y --- натуральные числа, поэтому
3x+4y>0.
Получили противоречие. Значит, из некоторой правильной несократимой дроби получить дробь 76 за 2 хода нельзя.
\item Пусть за два хода из некоторой правильной несократимой дроби yx получается дробь dc.
В пункте б) мы уже получили, что после двух ходов из дроби yx получается дробь
4x+3y3x+2y.
Значит,
4x+3y3x+2y=dc.
Покажем, что дробь
4x+3y3x+2y несократима.
Пусть у числителя и знаменателя есть общий делитель. Тогда он делит оба числа
3x+2yи4x+3y.
Значит, он делит и их линейные комбинации:
3(4x+3y)−4(3x+2y)=y,3(3x+2y)−2(4x+3y)=x.
То есть этот общий делитель делит и x, и y. Но дробь yx несократима, значит, такого общего делителя быть не может.
Так как дроби
4x+3y3x+2yиdc несократимы и равны, то их числители и знаменатели равны:
{3x+2y=c,4x+3y=d.
Выразим x и y через c и d.
Умножим первое уравнение на 3, второе на 2 и вычтем:
9x+6y=3c,8x+6y=2d.
Тогда
x=3c−2d.
Теперь умножим первое уравнение на 4, второе на 3 и вычтем:
12x+8y=4c,12x+9y=3d.
Тогда
y=3d−4c.
Чтобы дробь yx была правильной, несократимой и натуральной, должны выполняться условия
x>0,y>0,x<y.
Из условия
x>0
получаем:
3c−2d>0, dc>32.
Это условие выполнено, так как по условию
dc>107.
Из условия
y>0
получаем:
3d−4c>0, dc<43.
А из условия
x<y
получаем:
3c−2d<3d−4c, 7c<5d, dc<75.
Значит, если
107<dc<75,
то числа
x=3c−2d,y=3d−4c
натуральные и x<y.
Кроме того, дробь yx несократимая. Действительно, если бы числа x и y имели общий делитель, то этот делитель делил бы и числа
3x+2y=c,4x+3y=d.
Но дробь dc несократимая, значит, такого общего делителя быть не может.
Следовательно, любую несократимую дробь dc из промежутка
107<dc<75
можно получить из некоторой другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
Остается проверить дробь
75.
Для неё
x=3⋅5−2⋅7=15−14=1, y=3⋅7−4⋅5=21−20=1.
Получается дробь
yx=11,
а она не является правильной.
Значит, дробь 75 нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
