Дана правильная несократимая дробь ba, где a и b --- натуральные числа. За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель --- на два числителя, то есть получить несократимую дробь b+2aa+b.
а) Можно ли из дроби 32 получить дробь 4129?
б) Можно ли из некоторой дроби получить дробь 76 за 2 хода?
в) Дробь dc больше 107. Найдите минимальную дробь dc, которую нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
Решение
\item За один ход из дроби 32 получаем:32⟶3+2⋅22+3=75.Сделаем второй ход:75⟶7+2⋅55+7=1712.И третий ход:1712⟶17+2⋅1212+17=4129.Значит, из дроби 32 можно получить дробь 4129.
\item Пусть исходная дробь равна yx, где x и y --- натуральные числа.
После первого хода получим дробь2x+yx+y.После второго хода числитель станет равен(x+y)+(2x+y)=3x+2y,а знаменатель станет равен(2x+y)+2(x+y)=4x+3y.Значит, за два хода из дроби yx получается дробь4x+3y3x+2y.Предположим, что за два хода можно получить дробь 76. Тогда4x+3y3x+2y=76.Перемножим крест-накрест:7(3x+2y)=6(4x+3y).Раскроем скобки:21x+14y=24x+18y.Перенесем все в правую часть:0=3x+4y.Но x и y --- натуральные числа, поэтому3x+4y>0.Получили противоречие. Значит, из некоторой правильной несократимой дроби получить дробь 76 за 2 хода нельзя.
\item Пусть за два хода из некоторой правильной несократимой дроби yx получается дробь dc.
В пункте б) мы уже получили, что после двух ходов из дроби yx получается дробь4x+3y3x+2y.Значит,4x+3y3x+2y=dc.Покажем, что дробь4x+3y3x+2yнесократима.
Пусть у числителя и знаменателя есть общий делитель. Тогда он делит оба числа3x+2yи4x+3y.Значит, он делит и их линейные комбинации:3(4x+3y)−4(3x+2y)=y,3(3x+2y)−2(4x+3y)=x.То есть этот общий делитель делит и x, и y. Но дробь yx несократима, значит, такого общего делителя быть не может.
Так как дроби4x+3y3x+2yиdcнесократимы и равны, то их числители и знаменатели равны:{3x+2y=c,4x+3y=d.Выразим x и y через c и d.
Умножим первое уравнение на 3, второе на 2 и вычтем:9x+6y=3c,8x+6y=2d.Тогдаx=3c−2d.Теперь умножим первое уравнение на 4, второе на 3 и вычтем:12x+8y=4c,12x+9y=3d.Тогдаy=3d−4c.Чтобы дробь yx была правильной, несократимой и натуральной, должны выполняться условияx>0,y>0,x<y.Из условияx>0получаем:3c−2d>0,dc>32.Это условие выполнено, так как по условиюdc>107.Из условияy>0получаем:3d−4c>0,dc<43.А из условияx<yполучаем:3c−2d<3d−4c,7c<5d,dc<75.Значит, если107<dc<75,то числаx=3c−2d,y=3d−4cнатуральные и x<y.
Кроме того, дробь yx несократимая. Действительно, если бы числа x и y имели общий делитель, то этот делитель делил бы и числа3x+2y=c,4x+3y=d.Но дробь dc несократимая, значит, такого общего делителя быть не может.
Следовательно, любую несократимую дробь dc из промежутка107<dc<75можно получить из некоторой другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
Остается проверить дробь75.Для неёx=3⋅5−2⋅7=15−14=1,y=3⋅7−4⋅5=21−20=1.Получается дробьyx=11,а она не является правильной.
Значит, дробь 75 нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
