В блокноте записано больше 48, но меньше 52 целых чисел. Среднее арифметическое всех чисел равно −7. Среднее арифметическое всех положительных чисел равно 10, а отрицательных равно −15.
а) Сколько чисел может быть написано в блокноте?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть написано?
Решение
Пусть на доске записано k положительных чисел, l отрицательных и m нулей. Тогда верно равенство
10k−15l=−7(k+l+m). а) Из равенства 10k−15l=−7(k+l+m) получаем, что левая часть кратна 5, значит, k+l+m также должно быть кратно 5. Единственное число из промежутка (48;52), кратное~5, это 50.
б) Упростим равенство 10k−15l=−7(k+l+m):17k−8l+7m=0;17k=8l−7m. Так как m⩾0, то 17k⩽8l, а также l>k, значит, отрицательных чисел больше.
в) Так как из пункта а) k+l+m=50, то равенство 10k−15l=−7(k+l+m) примет вид:
10k−15l=−7⋅50;:52k−3l=−70;2k=3l−70; k=23l−70. Так как m⩾0, то k+l⩽50, подставим:
23l−70+l⩽50; 25l⩽85;l⩽34. Значит, 2k⩽3⋅34−70,k⩽16.
