Для чисел A и B, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили S --- сумму произведений соответствующих цифр. Например, для числа A=123 и B=579 получается сумма S=1⋅5+2⋅7+3⋅9=46.
а) Существуют ли трёхзначные числа A и B, для которых S=100?
б) Существуют ли пятизначные числа A и B, для которых S=400?
в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой S для некоторых четырёхзначных чисел A и B?
Решение
а) Например, возьмём
A=555,B=488.
Тогда
S=5⋅4+5⋅8+5⋅8=20+40+40=100.
Значит, такие трёхзначные числа A и B существуют.
б) Наибольшее произведение двух цифр равно
9⋅9=81.
Если взять пять таких произведений, получится
5⋅81=405.
Это больше 400.
Следующее по величине произведение двух цифр после 81 равно
8⋅9=72.
Значит, если хотя бы одно из пяти произведений не равно 81, то сумма будет не больше
4⋅81+72=324+72=396.
Получается, что сумма либо равна 405, если все пять произведений равны 81, либо не больше 396. Поэтому получить 400 невозможно.
в) Докажем, что любое натуральное число от 1 до 260 можно получить.
Произведения двух цифр могут принимать только такие значения:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,24,25,27,28,30,32,35,36,40,42,45,48,49,54,56,63,64,72,81.
Заметим, что среди этих чисел есть все числа от 0 до 10.
Кроме того, расстояние между любыми соседними числами в этом списке не больше 10.
Значит, любое число от 0 до 91 можно представить в виде суммы двух произведений цифр. Действительно, берём ближайшее число из списка, не превосходящее данное число, а остаток добираем числом от 0 до 10.
Теперь покажем, что можно получить все числа от 1 до 253.
Если число лежит от 1 до 91, то оно уже представляется как сумма двух произведений цифр, а оставшиеся два произведения можно взять равными 0.
Если число лежит от 92 до 172, то одно из четырех произведений можно взять равным 81, тогда остаток снова лежит от 11 до 91 и представляется суммой двух произведений цифр. Значит, всё число представляется как сумма трех произведений цифр, а оставшееся произведение можно взять равными 0.
Если число лежит от 173 до 253, то два из четырех произведений можно взять равным 81, тогда остаток снова лежит от 11 до 91 и представляется суммой двух произведений цифр. Значит, всё число представляется как сумма четырех произведений цифр.
Следовательно, все числа от 1 до 253 получить можно.
Осталось отдельно получить числа от 254 до 260:254=81+81+72+20,255=81+81+81+12,256=64+64+64+64,257=81+81+81+14,258=81+81+81+15,259=81+81+81+16,260=81+81+63+35.
Все слагаемые в этих равенствах являются произведениями двух цифр. Значит, каждую такую сумму можно реализовать для некоторых четырёхзначных чисел A и B.
Следовательно, любое натуральное число от 1 до 260 является суммой S для некоторых четырёхзначных чисел A и B.
