Школьник
Студент
Преподаватель
Личный кабинет
Назад
Теория чисел
ЕГЭ 2023
Скопировать ссылку
979c367f
В игре число
a
=
4
a=4
a
=
4
и число
b
=
5
b=5
b
=
5
,
за ход можно сделать
(
a
−
1
;
b
+
2
)
(a-1;b+2)
(
a
−
1
;
b
+
2
)
или
(
a
+
2
;
b
−
1
)
(a+2;b-1)
(
a
+
2
;
b
−
1
)
.
Новые числа
a
a
a
и
b
b
b
всегда положительные.
а) Можно ли получить число
200
200
200
за
100
100
100
ходов?
б) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить сумму, равную
300
300
300
?
в) Сколько нужно сделать ходов, чтобы получить максимальную сумму, при этом ни одно число не превышает
200
200
200
.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
\item Заметим, что при каждом ходе сумма чисел увеличивается на
1
1
1
.
Действительно, если из пары
(
a
;
b
)
(a;b)
(
a
;
b
)
перейти к паре
(
a
−
1
;
b
+
2
)
(a-1;b+2)
(
a
−
1
;
b
+
2
)
,
то новая сумма равна
(
a
−
1
)
+
(
b
+
2
)
=
a
+
b
+
1.
(a-1)+(b+2)=a+b+1.
(
a
−
1
)
+
(
b
+
2
)
=
a
+
b
+
1.
Если из пары
(
a
;
b
)
(a;b)
(
a
;
b
)
перейти к паре
(
a
+
2
;
b
−
1
)
(a+2;b-1)
(
a
+
2
;
b
−
1
)
,
то новая сумма равна
(
a
+
2
)
+
(
b
−
1
)
=
a
+
b
+
1.
(a+2)+(b-1)=a+b+1.
(
a
+
2
)
+
(
b
−
1
)
=
a
+
b
+
1.
Изначально
a
+
b
=
4
+
5
=
9.
a+b=4+5=9.
a
+
b
=
4
+
5
=
9.
Значит, через
100
100
100
ходов сумма чисел будет равна
9
+
100
=
109.
9+100=109.
9
+
100
=
109.
Так как сумма двух положительных чисел равна
109
109
109
,
ни одно из этих чисел не может быть равно
200
200
200
.
Следовательно, получить число
200
200
200
за
100
100
100
ходов нельзя.
\item Так как при каждом ходе сумма увеличивается на
1
1
1
,
то для получения суммы
300
300
300
нужно сделать
300
−
9
=
291
300-9=291
300
−
9
=
291
ход.
Осталось показать, что это действительно возможно.
Заметим, что за два хода можно перейти
(
a
;
b
)
⟶
(
a
+
2
;
b
−
1
)
⟶
(
a
+
1
;
b
+
1
)
.
(a;b)\longrightarrow (a+2;b-1)\longrightarrow (a+1;b+1).
(
a
;
b
)
⟶
(
a
+
2
;
b
−
1
)
⟶
(
a
+
1
;
b
+
1
)
.
То есть за два хода оба числа увеличиваются на
1
1
1
.
Сделаем так
145
145
145
раз. Тогда будет сделано
290
290
290
ходов, и из пары
(
4
;
5
)
(4;5)
(
4
;
5
)
получится пара
(
4
+
145
;
5
+
145
)
=
(
149
;
150
)
.
(4+145;5+145)=(149;150).
(
4
+
145
;
5
+
145
)
=
(
149
;
150
)
.
После этого сделаем еще один ход:
(
149
;
150
)
⟶
(
151
;
149
)
.
(149;150)\longrightarrow (151;149).
(
149
;
150
)
⟶
(
151
;
149
)
.
Сумма полученной пары равна
151
+
149
=
300.
151+149=300.
151
+
149
=
300.
Значит, сумму
300
300
300
можно получить за
291
291
291
ход.
\item Так как ни одно число не должно превышать
200
200
200
,
то сумма не может быть больше
200
+
200
=
400.
200+200=400.
200
+
200
=
400.
Покажем, что сумму
400
400
400
получить нельзя.
Рассмотрим разность
b
−
a
b-a
b
−
a
.
Изначально
b
−
a
=
5
−
4
=
1.
b-a=5-4=1.
b
−
a
=
5
−
4
=
1.
Если перейти от пары
(
a
;
b
)
(a;b)
(
a
;
b
)
к паре
(
a
−
1
;
b
+
2
)
(a-1;b+2)
(
a
−
1
;
b
+
2
)
,
то новая разность равна
(
b
+
2
)
−
(
a
−
1
)
=
b
−
a
+
3.
(b+2)-(a-1)=b-a+3.
(
b
+
2
)
−
(
a
−
1
)
=
b
−
a
+
3.
Если перейти от пары
(
a
;
b
)
(a;b)
(
a
;
b
)
к паре
(
a
+
2
;
b
−
1
)
(a+2;b-1)
(
a
+
2
;
b
−
1
)
,
то новая разность равна
(
b
−
1
)
−
(
a
+
2
)
=
b
−
a
−
3.
(b-1)-(a+2)=b-a-3.
(
b
−
1
)
−
(
a
+
2
)
=
b
−
a
−
3.
Значит, при каждом ходе разность
b
−
a
b-a
b
−
a
изменяется на число, кратное
3
3
3
.
Так как в начале
b
−
a
=
1
b-a=1
b
−
a
=
1
,
то после любого количества ходов разность
b
−
a
b-a
b
−
a
не может стать равной
0
0
0
.
Если бы сумма была равна
400
400
400
,
то, так как каждое число не превышает
200
200
200
,
пришлось бы иметь
a
=
200
,
b
=
200.
a=200,\qquad b=200.
a
=
200
,
b
=
200.
Но тогда
b
−
a
=
0
,
b-a=0,
b
−
a
=
0
,
что невозможно.
Значит, сумма
400
400
400
недостижима, поэтому максимальная возможная сумма не больше
399
399
399
.
Покажем, что сумму
399
399
399
получить можно.
Из пункта б) уже знаем, что за два хода можно перейти
(
a
;
b
)
⟶
(
a
+
2
;
b
−
1
)
⟶
(
a
+
1
;
b
+
1
)
.
(a;b)\longrightarrow (a+2;b-1)\longrightarrow (a+1;b+1).
(
a
;
b
)
⟶
(
a
+
2
;
b
−
1
)
⟶
(
a
+
1
;
b
+
1
)
.
Сделаем так
194
194
194
раза. Тогда будет сделано
388
388
388
ходов, и получим пару
(
4
+
194
;
5
+
194
)
=
(
198
;
199
)
.
(4+194;5+194)=(198;199).
(
4
+
194
;
5
+
194
)
=
(
198
;
199
)
.
Теперь сделаем еще два хода:
(
198
;
199
)
⟶
(
200
;
198
)
⟶
(
199
;
200
)
.
(198;199)\longrightarrow (200;198)\longrightarrow (199;200).
(
198
;
199
)
⟶
(
200
;
198
)
⟶
(
199
;
200
)
.
На каждом шаге оба числа положительные и не превышают
200
200
200
.
Сумма последней пары равна
199
+
200
=
399.
199+200=399.
199
+
200
=
399.
Значит, максимальная сумма равна
399
399
399
.
Так как за каждый ход сумма увеличивается на
1
1
1
,
а начальная сумма равна
9
9
9
,
чтобы получить сумму
399
399
399
,
нужно сделать
399
−
9
=
390
399-9=390
399
−
9
=
390
ходов.
Ответ: а) нет; б)
291
291
291
,
в)
390
390
390
.
