Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть S --- сумма 4 получившихся чисел.
а) Может ли S=412411?
б) Может ли S=5697229?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?
Решение
а) Нужно получить
S=412411.
Заметим, что если число двузначное и имеет первую цифру a, то его можно записать в виде
10a+c, где c --- число, образованное оставшейся цифрой. Тогда после деления на первую цифру получаем
a10a+c=10+ac. То есть каждое двузначное число после деления на свою первую цифру даёт 10 и некоторую дробную часть.
Так как целая часть числа 412411 близка к 40, логично искать пример среди четырёх двузначных чисел.
Теперь посмотрим на дробную часть. Нам нужен знаменатель 24. Если первые цифры у четырёх последовательных чисел меняются, то возможные соседние пары первых цифр:
1,2;2,3;3,4;4,5;5,6;6,7;7,8;8,9. Их общие знаменатели:
2,6,12,20,30,42,56,72. Из них только 72 может после сокращения дать знаменатель 24. Значит, нужно искать пример на переходе от чисел с первой цифрой 8 к числам с первой цифрой 9.
Возьмём четыре последовательных числа:
89,90,91,92. Тогда
S=889+990+991+992. Получаем
S=1181+10+1091+1092. Значит,
S=41+81+91+92=41+81+31=41+243+248=412411.
Следовательно, такое значение возможно.
б) В пункте а) мы уже заметили, что знаменатель 72 может появиться только в случае, когда среди первых цифр встречаются 8 и 9. Значит, если бы значение
S=5697229 было возможно, то четыре последовательных числа должны были бы находиться на переходе от чисел с первой цифрой 8 к числам с первой цифрой 9.
Оценим, насколько большой могла бы быть сумма в этом случае. Если число имеет вид
abc=100a+10b+c, то после деления на первую цифру получаем
a100a+10b+c=100+a10b+c. При первых цифрах 8 и 9 имеем a⩾8, а также 10b+c⩽99. Поэтому
100+a10b+c⩽100+899<113.
Значит, сумма четырёх таких чисел после деления на первые цифры меньше, чем
4⋅113=452. Но
5697229>452.
Получили противоречие. Следовательно, такое значение невозможно.
в) Рассмотрим четыре последовательных числа от 400 до 999.
Сначала пусть все четыре числа начинаются с цифры 4. Тогда, если первое число равно n, имеем
S=4n+4n+1+4n+2+4n+3=44n+6=n+23. Такое значение не является целым. Значит, если все четыре числа начинаются с 4, целого значения S получить нельзя.
Теперь рассмотрим числа, которые начинаются с цифр от 5 до 9. Чтобы получить наибольшее значение, нужно взять как можно большие числа с как можно меньшей первой цифрой. Поэтому максимум среди таких наборов достигается на числах
596,597,598,599. Для них
S=5596+5597+5598+5599=52390=478.
Осталось проверить переход от чисел, начинающихся с 4, к числам, начинающимся с 5. Возможны только наборы
497,498,499,500,498,499,500,501,499,500,501,502. Даже для первого из них, где сумма наибольшая, получаем
4497+4498+4499+5500=12441+12421+12443+100=47321. Это меньше 478.
Следовательно, наибольшее целое значение S равно 478.
