Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD,M -- середина AB,K -- середина~SD.
а) Докажите, что прямая MK параллельна плоскости (SBC).
б) Найдите высоту пирамиды, если AB=24, а угол между прямой MK и плоскостью основания равен 30∘.
Решение
а) Пусть BQ -- медиана △SBC. Тогда KQ -- средняя линия △SDC, значит, KQ=21DC и KQ∥DC. Так как MB=21AB,MB∥KQ,MB=KQ, то KQBM -- параллелограмм. Таким образом, KM∥BQ, а так как BQ лежит в плоскости (CBS), то KM∥(CBS), ч.т.д.
б) Пусть KK′⊥(ABC),KK′∥SO,K′∈BD, тогда K′M --- проекция прямой KM на (ABC). Значит, ∠(KM;(ABC))=∠KMK′.
Пусть AC∩BD=O.
Так как K --- середина SD и KK′∥SO, то KK′ --- средняя линия △OSD, тогда KK′=21SO и K′--- середина DO. BD=242 как диагональ квадрата ABCD, тогда BK′=43BD=182. Для △MBK′ по теореме косинусов:
MK′2=BK′2+MB2−2⋅BK′⋅MB⋅cos∠MBK′; MK′2=648+144−2⋅182⋅12⋅22;MK′2=782−432=360,MK′=610.
Из △MKK′ получаем:
KK′=MK′⋅tg30∘=610⋅33=230. Тогда SO=2⋅KK′=430.
