Для студентов Для учителей

Пирамиды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2026 (пересдача)

Дана правильная четырёхугольная пирамида

SABCD

,

M

— середина

AB

,

K

— середина

SD

.

а) Докажите, что прямая

MK

параллельна плоскости

(SBC)

.

б) Найдите высоту пирамиды, если

AB = 24

, а угол между прямой

MK

и плоскостью основания равен

30^{\circ}

.

Решение

а) Пусть

BQ

— медиана

\triangle SBC

. Тогда

KQ

— средняя линия

\triangle SDC

, значит,

KQ = \dfrac{1}{2}DC

и

KQ \parallel DC

.
Так как

MB = \dfrac{1}{2}AB

,

MB \parallel KQ

,

MB = KQ

, то

KQBM

— параллелограмм. Таким образом,

KM \parallel BQ

, а так как

BQ

лежит в плоскости

(CBS)

, то

KM \parallel (CBS)

, ч.т.д.

б) Пусть

KK' \perp (ABC)

,

KK' \parallel SO

,

K' \in BD

, тогда

K'M

— проекция прямой

KM

на

(ABC)

. Значит,

\angle(KM; (ABC)) = \angle KMK'

.

Пусть

AC \cap BD = O

.

Так как

K

— середина

SD

и

KK' \parallel SO

, то

KK'

— средняя линия

\triangle OSD

, тогда

KK' = \dfrac{1}{2}SO

и

K'

— середина

DO

.

BD = 24\sqrt{2}

как диагональ квадрата

ABCD

, тогда

BK' = \dfrac{3}{4}BD = 18\sqrt{2}

.
Для

\triangle MBK'

по теореме косинусов:

MK'^2 = BK'^2 + MB^2 - 2 \cdot BK' \cdot MB \cdot \cos\angle MBK';

MK'^2 = 648 + 144 - 2 \cdot 18\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2};

MK'^2 = 782 - 432 = 360, \quad MK' = 6\sqrt{10}.

Из

\triangle MKK'

получаем:

KK' = MK' \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 6\sqrt{10} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{30}.

Тогда

SO = 2 \cdot KK' = 4\sqrt{30}

.

Ответ:

4\sqrt{30}

.