В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K -- середины боковых рёбер SA и SD соответственно.
а) Докажите, что прямые BC и MK лежат в одной плоскости.
б) Найдите высоту пирамиды, если AB=6, а угол между плоскостью (BMC) и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 60∘.
Решение
а) Так как точки M и K -- середины боковых рёбер SA и SD соответственно, то MK -- средняя линия △SAD, значит, MK∥AD. При этом AD∥BC, так как AD -- диагональ правильного шестиугольника ABCDEF. Следовательно, MK∥BC и они лежат в одной плоскости, ч.т.д.
б) Пусть SO -- высота пирамиды, SO⊥(ABC). Опустим MH⊥(ABC),SO принадлежит плоскости (ASD),MH принадлежит плоскости (ASD),SO∥MH и MH -- средняя линия треугольника ASO,MH=21SO. Тогда BH -- медиана и высота равностороннего треугольника ABO, значит, BH⊥AD, а следовательно, BH⊥BC, но BH -- проекция прямой MB на плоскость (ABC), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах MB⊥BC. Следовательно, угол между плоскостью (BMC) и плоскостью основания равен углу ∠MBH .
Из треугольника MBH имеем:
tg∠MBH=tg60∘=BHMH=3,MH=3BH. Так как BH -- высота правильного треугольника AOB, то
BH=2AB3=33,MH=33⋅3=9. Значит, SO=2MH=2⋅9=18.
