В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K -- середины боковых рёбер SA и SD соответственно.
а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны.
б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB=6, а угол между плоскостью (BMC) и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 60∘.
Решение
а) Так как точки M и K -- середины боковых рёбер SA и SD соответственно, то MK -- средняя линия △SAD, значит, MK∥AD. При этом AD∥BC, так как AD -- диагональ правильного шестиугольника ABCDEF. Следовательно, MK∥BC, ч.т.д.
б) Найдём площадь треугольника ABF: S△ABF=21AB⋅AF⋅sin∠BAF=21⋅6⋅6⋅23=93. Пусть SO -- высота пирамиды, SO⊥(ABC). Опустим MH⊥(ABC),SO принадлежит плоскости (ASD),MH принадлежит плоскости (ASD),SO∥MH и MH -- средняя линия треугольника ASO. Тогда BH -- медиана и высота равностороннего треугольника ABO, значит, BH⊥AD, а следовательно, BH⊥BC, но BH -- проекция прямой MB на плоскость (ABC), следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах MB⊥BC. Следовательно, угол между плоскостью (BMC) и плоскостью основания равен углу ∠MBH . Из треугольника MBH имеем:
tg∠MBH=tg60∘=BHMH=3,MH=3BH.
Так как BH -- высота правильного треугольника AOB, то
BH=2AB3=33,MH=33⋅3=9. Тогда получаем, что
VMABF=31⋅Sосн.⋅MH=31⋅93⋅9=273.
