В правильном тетраэдре ABCD все ребра равны 10. На ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно
так, что AM=AK=6.
а) Докажите, что плоскость (CMK) делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 16:9.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью (CMK).
Решение
а) По теореме, обратной теореме Фалеса получаем, что так как KDAK=MBAM=46, то KM∥BD.
Так как ∠A -- общий и ADAK=ABAM=106=53, то △AKM∼△ADB, следовательно, S△ADBS△AKM=k2=259. Тетраэдры CAKM и ABCD имеют общую высоту из вершины С, значит:
VABCDVCAKM=S△ADBS△AKM=259. Тогда получаем, что
VCDKMB=VABCD−VCAKM=2516VABCD,VCAKMVCDKMB=916,ч.т.д.
б) Так как DK=MB,DC=BC и ∠KDC=∠MBC=60∘, то △DKC=△MCB, откуда получаем, что CK=CM. В треугольнике MCB по теореме косинусов:
CM2=BC2+BM2−2BC⋅BM⋅cos∠MBC; CM2=100+16−2⋅10⋅4⋅21=76,CM=219. Треугольник AKM равносторонний, так как AK=AM,∠A=60∘, тогда KM=6.
Пусть CH -- высота, медиана и биссектриса в △MCK. Тогда в прямоугольном треугольнике CKH по теореме Пифагора:
CK2=CH2+HK2,CH=CK2−HK2=76−9=67. Прямая CH --- проекция прямой AC на плоскость (MCK), так как основание перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость (MCK), падает на биссектрису угла MCK, то есть на CH, значит, искомый угол ∠ACH. AH=AK⋅23=33 --- как высота равностороннего треугольника.
Из треугольника ACH по теореме косинусов:
AH2=AC2+HC2−2⋅AC⋅HC⋅cos∠ACH; cos∠ACH=2⋅AC⋅HCAC2+HC2−AH2=2⋅10⋅67100+67−27=677.
