В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость α, параллельная плоскости (SBC) и пересекающая ребро SD в точке K.
а) Докажите, что точка K -- середина ребра SD.
б) Найдите объём пирамиды SABCD, если AB=16, а угол между прямой MK и плоскостью основания пирамиды равен 45∘.
Решение
а) Параллельные плоскости α и (SBC) пересекают плоскость (ABC) по параллельным прямым. Проведём MP∥BC,P∈CD. Параллельные плоскости α и (SBC) пересекают плоскость (SCD) по параллельным прямым. Значит, KP∥SC. Четырёхугольник AMPD -- прямоугольник, так как AM∥PD,MP∥AD,∠MAD=90∘, значит, DP=AM, то есть P -- середина DC. Таким образом, PK -- средняя линия △SDC, значит, K -- середина SD, ч.т.д.
б) Опустим из точки K перпендикуляр KK′ на плоскость основания. Пусть SO -- высота пирамиды, где O точка пересечения диагоналей AC и BD (пирамида правильная по условию), тогда KK′∥SO,KK′ и SO лежат в плоскости (SBD), значит, K′∈BD. Так как MK′ -- проекция MK на плоскость (ABC), то ∠(MK;(ABC))=∠KMK′=45∘. BD=162 как диагональ квадрата ABCD, лежащего в основании.
KK′ -- средняя линия △SOD, значит, OK′=21OD,BK′=43BD=122. Так как M -- середина AB, то AM=BM=21AB=8. В треугольнике BMK′∠MBK′=45∘ (угол между стороной и диагональю квадрата), тогда по теореме косинусов:
MK′2=BM2+BK′2−2BM⋅BK′⋅∠MBK′; MK′2=64+288−2⋅8⋅122⋅22=160,MK′=410. Треугольник MKK′ прямоугольный с углом 45∘, следовательно, он равнобедренный и KK′=MK′=410.KK′ -- средняя линия △SOD, тогда SO=2KK′=2⋅410=810. Тогда получаем, что:
VSABCD=31SABCD⋅SO=31⋅162⋅810=3204810. Ответ: 3204810.
