Для студентов Для учителей

Пирамиды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2026 (Основная волна)

В правильной четырёхугольной пирамиде

SABCD

точка

M

— середина ребра

AB

. Через точку

M

проведена плоскость

\alpha

, параллельная плоскости

(SBC)

и пересекающая ребро

SD

в точке

K

.

а) Докажите, что точка

K

— середина ребра

SD

.

б) Найдите объём пирамиды

SABCD

, если

AB = 16

, а угол между прямой

MK

и плоскостью основания пирамиды равен

45^\circ

.

Решение

а) Параллельные плоскости

\alpha

и

(SBC)

пересекают плоскость

(ABC)

по параллельным прямым. Проведём

MP \parallel BC

,

P\in CD

.
Параллельные плоскости

\alpha

и

(SBC)

пересекают плоскость

(SCD)

по параллельным прямым. Значит,

KP \parallel SC

.
Четырёхугольник

AMPD

— прямоугольник, так как

AM \parallel PD

,

MP \parallel AD

,

\angle MAD = 90^{\circ}

, значит,

DP = AM

, то есть

P

— середина

DC

.
Таким образом,

PK

— средняя линия

\triangle SDC

, значит,

K

— середина

SD

, ч.т.д.

б) Опустим из точки

K

перпендикуляр

KK'

на плоскость основания. Пусть

SO

— высота пирамиды, где

O

точка пересечения диагоналей

AC

и

BD

(пирамида правильная по условию), тогда

KK' \parallel SO

,

KK'

и

SO

лежат в плоскости

(SBD)

, значит,

K' \in BD

.
Так как

MK'

— проекция

MK

на плоскость

(ABC)

, то

\angle (MK;(ABC)) = \angle KMK' = 45^{\circ}

.

BD = 16\sqrt{2}

как диагональ квадрата

ABCD

, лежащего в основании.

KK'

— средняя линия

\triangle SOD

, значит,

OK' = \dfrac{1}{2}OD

,

BK' = \dfrac{3}{4}BD = 12\sqrt{2}

.
Так как

M

— середина

AB

, то

AM=BM = \dfrac{1}{2}AB = 8

.
В треугольнике

BMK'

\angle MBK'=45^\circ

(угол между стороной и диагональю квадрата), тогда по теореме косинусов:

MK'^2 = BM^2 + BK'^2 -2BM\cdot BK'\cdot \angle MBK';

MK'^2 = 64 + 288 -2\cdot 8\cdot 12\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 160, \quad MK' = 4\sqrt{10}.

Треугольник

MKK'

прямоугольный с углом

45^\circ

, следовательно, он равнобедренный и

KK'=MK'=4\sqrt{10}

.

KK'

— средняя линия

\triangle SOD

, тогда

SO = 2KK' = 2\cdot 4\sqrt{10} = 8\sqrt{10}

.
Тогда получаем, что:

V_{SABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD} \cdot SO = \dfrac{1}{3} \cdot 16^2 \cdot 8\sqrt{10} = \dfrac{2048\sqrt{10}}{3}.

Ответ:

\dfrac{2048\sqrt{10}}{3}

.