В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Точки M и K являются серединами рёбер SA и BC соответственно
а) Докажите, что MK -- биссектриса угла BMC.
б) Найдите угол между прямыми SB и MK, если известно, что AC=6, а SB=8.
Решение
а) BC -- проекция SC на (ABC),BC⊥AC, значит, по теореме о трёх перпендикулярах SC⊥AC и SAC -- прямоугольный. BM и CM -- медианы, опущенные на гипотенузу в треугольниках SAB и SAC соответственно. Значит,
BM=CM=21SA. Тогда BMC -- равнобедренный треугольник, а MK его медиана, высота и биссектриса.
б) Пусть Q -- середина ребра AB, тогда MQ -- средняя линия треугольника SAB, то есть MQ∥SB и
MQ=21SB=21⋅8=4. Значит, ∠(MK;SB)=∠(MK;MQ)=∠KMQ.
KQ -- средняя линия треугольника ABC, значит,
KQ=21AC=21⋅6=3. Из треугольника KMQ получаем:
tg∠KMQ=MQKQ=43⇒∠KMQ=arctg43. Ответ: arctg43.
