В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна~30, а боковое ребро SA равно 28. Точки M и N — середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Решение
а) Так как α⊥(ABC), то α∥SH, где SH -- высота пирамиды.
Пусть SE∩MN=R, тогда проведём RT∥SH, причём T∈HE. Через точку T проведём PQ∥AB, причём P∈AC, а Q∈BC. \par \medskip
По теореме о пропорциональных отрезках
MASM=NBSN=RESR=1. Так как точка H -- центр треугольника ABC, то HECH=12, значит, HE=31CE. По теореме о пропорциональных отрезках
RESR=TEHT=1, значит, TE=21HE=61CE.
Таким образом, TECT=15, ч.т.д.
б) Так как MN∥AB, то AB∥α, значит, ρ(A;α)=ρ(AB;α)=ρ(E;α).
Заметим, что ET⊥PQ и ET⊥RT, следовательно, ET⊥α и ET=ρ(E;α).
Тогда получаем, что:
ET=61CE=61AB⋅sin60∘=61⋅30⋅23=253. Ответ: 253.
