Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

$1$. Выразим расстояние через угол.
Течение направлено вдоль берегов, поэтому оно не влияет на скорость движения поперёк реки. Составляющая скорости лодки в направлении противоположного берега равна $v\sin\alpha$.

Если $v\sin\alpha>0$, лодка приближается к противоположному берегу и достигает его за время
$$ t=\frac{H}{v\sin\alpha}>0. $$
Снос вдоль реки меняет точку прибытия, но не мешает переправе. При $\sin\alpha=0$ лодка движется вдоль берега и переправиться не может.

Так как $v>0$, для переправы достаточно $\sin\alpha>0$. Угол между векторами лежит в пределах от $0$ до $\pi$, поэтому рассматриваем $0<\alpha<\pi$.

Подставим данные задачи:
$$ L(\alpha)=60\frac{2+\cos\alpha}{\sin\alpha}. $$
Нужно найти наименьшее значение этой функции.

$2$. Вычислим производную.
Используем правило производной частного:
$$ \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}. $$
$$ \begin{aligned} L'(\alpha)&=60\left(\frac{2+\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)' =60\frac{(2+\cos\alpha)'\sin\alpha-(2+\cos\alpha)(\sin\alpha)'}{\sin^2\alpha}\\[6pt] &=60\frac{-\sin\alpha\cdot\sin\alpha-(2+\cos\alpha)\cos\alpha}{\sin^2\alpha} =60\frac{-\sin^2\alpha-2\cos\alpha-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\\[6pt] &=60\frac{-(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)-2\cos\alpha}{\sin^2\alpha} =-60\frac{1+2\cos\alpha}{\sin^2\alpha}. \end{aligned} $$
Приравняем производную к нулю:
$$ 1+2\cos\alpha=0,\qquad \cos\alpha=-\dfrac12. $$
$$ \alpha=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. $$
Отберём корни из интервала $(0;\pi)$.
$$ \begin{aligned} &0<\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k<\pi \quad\Longleftrightarrow\quad -\dfrac13<k<\dfrac16 \quad\Rightarrow\quad k=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\dfrac{2\pi}{3}. \\[6pt] &0<-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k<\pi \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac13<k<\dfrac56 \quad\Rightarrow\quad \text{целых решений нет}. \end{aligned} $$
На интервале $(0;\pi)$ знаменатель положителен, а $\cos\alpha$ убывает. Поэтому знак производной меняется с минуса на плюс при $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$.

Исследуем знак производной методом интервалов:



Следовательно, расстояние минимально при $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$.

$3$. Вычислим наименьшее расстояние.
$$ \begin{aligned} L_{\min}&=L\left(\frac{2\pi}{3}\right) =60\frac{2-\frac12}{\dfrac{\sqrt3}{2}} =60\frac{\dfrac32}{\dfrac{\sqrt3}{2}}\\[6pt] &=60\cdot\frac32\cdot\frac2{\sqrt3} =\frac{180}{\sqrt3} =60\sqrt3\ \text{м}. \end{aligned} $$
Ответ: $60\sqrt3$.