Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

$1$. Выделим постоянный множитель.

Обозначим положительную константу, не зависящую от $E$:
$$ B=\frac{2}{\sqrt\pi}\left(\frac{1}{kT}\right)^{\frac32}>0, \qquad f(E)=B\sqrt E\,\mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}}. $$
Найдём энергию, при которой эта функция максимальна.

$2$. Вычислим производную. Заметим, что кинетическая энергия неотрицательна: $E\geqslant0$. Используем правило производной произведения и правило производной сложной функции:
$$ (fg)'=f'g+fg',\qquad (\mathrm{e}^{h(E)})'=\mathrm{e}^{h(E)}h'(E). $$
$$ \begin{aligned} f'(E)&=B\left(\sqrt E\,\mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}}\right)' =B\left((\sqrt E)'\mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}}+\sqrt E\left(\mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}}\right)'\right)\\[6pt] &=B\left(\frac{1}{2\sqrt E}\mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}} +\sqrt E\,\mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}}\left(-\frac{E}{kT}\right)'\right) =B\left(\frac{\mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}}}{2\sqrt E} -\frac{\sqrt E\,\mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}}}{kT}\right)\\[6pt] &=B \mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}}\left(\frac{1}{2\sqrt E}-\frac{\sqrt E}{kT}\right) =B \mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}}\frac{kT-2E}{2kT\sqrt E}. \end{aligned} $$
При $E>0$ множитель $B \mathrm{e}^{-E/(kT)}$ и знаменатель положительны. Поэтому знак производной определяется выражением $kT-2E$.
$$ kT-2E=0,\qquad E=\frac{kT}{2}. $$
Исследуем знак производной методом интервалов:



Значение $E=0$ мы ещё не исследовали, так как знак производной рассматривали только при $E>0$. Из формулы функции видно, что $f(0)=0$, а при $E>0$ все множители положительны, поэтому $f(E)>0$. Значит, значение функции при $E=0$ меньше её значений при $E>0$, и в точке $E=0$ максимум не достигается.

Следовательно, максимум достигается при $E=\dfrac{kT}{2}$.

$3$. Вычислим энергию.
$$ E=\frac{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot100}{2} =0{,}69\cdot10^{-21}=6{,}9\cdot10^{-22}\ \text{Дж}. $$
Ответ: $6{,}9\cdot10^{-22}$.