Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

$1$. Выразим мощность через сопротивление нагрузки.
По смыслу задачи $R\geqslant0$. Подставим закон Ома в формулу мощности:
$$ I=\frac{40}{R+1{,}6},\qquad P(R)=I^2R=\frac{1600R}{(R+1{,}6)^2}. $$
Нужно найти наибольшее значение этой функции, поэтому вычислим производную.

$2$. Вычислим производную.
Используем правило производной частного:
$$ \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}. $$
$$ \begin{aligned} P'(R)&=1600\left(\frac{R}{(R+1{,}6)^2}\right)' =1600\frac{R'\cdot(R+1{,}6)^2-R\cdot\bigl((R+1{,}6)^2\bigr)'}{\bigl((R+1{,}6)^2\bigr)^2}\\[6pt] &=1600\frac{1\cdot(R+1{,}6)^2-R\cdot2(R+1{,}6)\cdot(R+1{,}6)'}{(R+1{,}6)^4} =1600\frac{(R+1{,}6)^2-2R(R+1{,}6)\cdot(1+0)}{(R+1{,}6)^4}\\[6pt] &=1600\frac{(R+1{,}6)^2-2R(R+1{,}6)}{(R+1{,}6)^4} =1600\frac{(R+1{,}6)\bigl((R+1{,}6)-2R\bigr)}{(R+1{,}6)^4}\\[6pt] &=1600\frac{(R+1{,}6)(1{,}6-R)}{(R+1{,}6)^4} =1600\frac{1{,}6-R}{(R+1{,}6)^3}. \end{aligned} $$
При $R\geqslant0$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением $1{,}6-R$. Критическая точка: $R=1{,}6$.

Исследуем знак производной методом интервалов:



Следовательно, мощность максимальна при $R=1{,}6$ Ом.

$3$. Вычислим максимальную мощность.
$$ P_{\max}=P(1{,}6)=\frac{1600\cdot1{,}6}{(1{,}6+1{,}6)^2} =\frac{2560}{10{,}24}=250\ \text{Вт}. $$
Ответ: $250$.