Часть 1задания 1–13

Часть 2задания 14–20

Задание 17 — Задача на моделирование

Оптимизация

Задачи подтемы с ответами и разборами

Судно стоит на открытой воде бортом к волне. Под действием волн оно испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды колебаний (в градусах) от периода волны

\tau

(в секундах) выражается формулой

A(\tau)=k\theta_0\frac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}.

Коэффициент

k

определяется отношением ширины судна к длине волны,

\theta_0

— угол наибольшего волнового склона (в градусах),

T

— период свободных поперечных колебаний судна на тихой воде (в секундах),

n

— числовой коэффициент. При каком периоде волны

\tau

амплитуда вынужденных колебаний судна будет наибольшей, если

T=15{,}2

с?

Ответ:

Задача 2Ященко

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу

\mathcal E=40

В и внутреннее сопротивление

r=1{,}6

Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

I=\frac{\mathcal E}{r+R},

где

R

— сопротивление нагрузки (в омах). Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна

P=I^2R

(закон Джоуля — Ленца). Найдите наибольшую возможную тепловую мощность

P

, которую может выделять этот источник.

Ответ:

Задача 3Ященко

Распределение скорости молекулы водорода при тепловом движении имеет функцию плотности

f(v)=4\pi v^2\left(\frac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac32}\mathrm{e}^{-\frac{Mv^2}{2RT}}

(распределение Максвелла). В этой формуле

v

— скорость молекулы в м/с,

R

— универсальная газовая постоянная,

M=0{,}004

кг/моль — молярная масса водорода,

T

— температура газа в кельвинах. При каком значении скорости

v

функция плотности принимает наибольшее значение, если

T=500

К?

Ответ:

Задача 4Ященко

Если к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, подключить источник переменного тока, то амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) будет подчиняться закону

U_L(\omega)=\frac{UL\omega}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}},

где

U

— амплитуда напряжения на источнике тока (в вольтах),

\omega

— частота переменного тока (в с

^{-1}

L

— индуктивность катушки (в генри),

C

— ёмкость конденсатора (в фарадах),

R

— сопротивление резистора (в омах). При какой частоте

\omega

амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если

U=180

В,

L=0{,}027

Гн,

C=10^{-5}

Ф и

R=20

Ом?

Ответ:

Задача 5Ященко

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

f(E)=\frac{2}{\sqrt\pi}\left(\frac{1}{kT}\right)^{\frac32}\sqrt E\,\mathrm{e}^{-\frac{E}{kT}},

где

k=1{,}38\cdot10^{-23}

Дж/К — постоянная Больцмана,

E

— кинетическая энергия молекулы в джоулях,

T

— температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии

E

, при котором функция плотности

f(E)

принимает наибольшее значение, если

T=100

К.

Ответ:

Задача 6

На берегах прямого участка реки друг напротив друга находятся пристани А и Б. Лодка начинает переправу от пристани А. Собственная скорость лодки v меньше скорости течения реки u. При переправе лодку сносит течением, и точка прибытия В находится от пристани Б на расстоянии, которое выражается формулой L=H⋅(u+vcosα)/(vsinα), где H — ширина реки, α — угол между вектором скорости лодки относительно воды и вектором скорости течения. Найдите наименьшее возможное расстояние от точки В до пристани Б, если H=60 м, u=2 м/с и v=1 м/с.

Задача 7

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой A=kθ₀(τ²)/(√((T²−τ²)²+nτ²T²)), где k=0,85 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, θ₀=10^(∘) — угол наибольшего волнового склона, τ — период волны (в секундах), T=24 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, n=0,1568 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Задача 8

На заводе имеется генератор с ЭДС ε=120 В и внутренним сопротивлением r=2 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I=(ε)/(r+R). Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля-Ленца: P=I²R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?

Задача 9

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнах выражается формулой A=kθ_0τ^2√((T^2-τ^2)^2+nτ^2T^2), где k=0,85 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, θ_0=10^∘ — угол наибольшего волнового склона, τ — период волны (в секундах), T=24 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, n=0,1568 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Задача 10

На заводе имеется генератор с ЭДС ε=120 В и внутренним сопротивлением r=2 Ом. К генератору подключают нагрузку с сопротивлением R Ом. Сила тока в цепи определяется по формуле I=εr+R, а тепловая мощность, выделяемая в нагрузке, — по формуле P=I^2R. Найдите наибольшую тепловую мощность, которая может выделяться в нагрузке.

Задача 11

Компания решила продать 1000 своих акций. Акционер купил все акции одновременно. Для ускорения продаж каждая десятая акция продается со скидкой p %, а каждая пятнадцатая акция — со скидкой 25 %. Если акция подпадает под оба условия, то на неё действует большая скидка (p<25). Найдите p, если каждая акция стоит 5000 рублей, а всего за продажу акций компанией получено 4817000 рублей.

Задача 12

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t = 1, 2, …). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце пятого года (продать их в конце любого другого года будет менее выгодно). При каких положительных значениях r это возможно?

Задача 13

Вадим владеет двумя заводами в разных городах. За t^2 часов изготавливается t товаров. Рабочие первого завода получают 200 рублей в час, рабочие второго — 300 рублей в час. Недельный бюджет Вадима на оплату труда рабочих — 1200000 рублей. Какое максимальное количество товаров смогут произвести оба завода за одну неделю?

Задача 14

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5x^2+2x+6) млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px-(0,5x^2+2x+6). Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не больше чем за 3 года?

Задача 15

По бизнес-плану вкладчик предполагает вложить в четырёхлетний проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов требуются дополнительные вложения: по 10 млн рублей в первый и второй годы, а также по 15 млн в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 140 млн, а к концу проекта — больше 220 млн рублей.

Задача 16

Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5 x^2+2 x+6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит p x-(0,5 x^2+2 x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год p = 10, а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?

Задача 17

Зависимость количества Q (в шт., 0⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+1000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей (0<t<10000) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ-3000Q-1000000-tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Задача 18

Зависимость объёма Q (в шт.) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000⩽ P⩽ 15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20 %, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Задача 19

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t^2 тыс. рублей в конце года t (t=1 ; 2 ; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей?

Показано 19 из 19 задач