Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

$1$. Упростим формулу.
Частота положительна: $\omega>0$. Разделим числитель и знаменатель исходной дроби на $\omega$:
$$ U_L(\omega)= \frac{\displaystyle\dfrac{UL\omega}{\omega}} {\displaystyle\dfrac{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}{\omega}} \;=\;\frac{UL} {\displaystyle\dfrac{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}{\omega}}. $$
В числителе остаётся $UL$ — положительная константа. В знаменателе внесем множитель под корень:
$$ \begin{aligned} &\frac{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}{\omega} =\sqrt{\frac{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}{\omega^2}} =\sqrt{\frac{R^2}{\omega^2}+\left(\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{\omega}\right)^2}\\[6pt] &{}=\sqrt{\frac{R^2}{\omega^2}+\left(L-\frac{1}{\omega^2 C}\right)^2}. \end{aligned} $$
Таким образом, формула для амплитуды примет вид
$$ U_L(\omega)=\frac{UL}{\sqrt{\dfrac{R^2}{\omega^2}+\left(L-\dfrac{1}{\omega^2 C}\right)^2}}. $$
Введём замену $u=1/\omega^2>0$. Получаем:
$$ U_L(u)=\frac{UL}{\sqrt{R^2u+\left(L-\dfrac{u}{C}\right)^2}} =\frac{4{,}86}{\sqrt{400u+(0{,}027-100000u)^2}}. $$
Обозначим подкоренное выражение через $f(u)$:
$$ f(u)=400u+(0{,}027-100000u)^2,\qquad U_L(u)=\frac{4{,}86}{\sqrt{f(u)}}. $$
$2$. Проанализируем функцию $f(u)$.
При $u>0$ имеем $f(u)>0$, так как $400u>0$, а квадрат неотрицателен.

Раскроем квадрат разности:
$$ \begin{aligned} f(u)&=400u+(0{,}027)^2-2\cdot0{,}027\cdot100000u+(100000u)^2\\[6pt] &=400u+(0{,}027)^2-5400u+10^{10}u^2 =10^{10}u^2-5000u+(0{,}027)^2. \end{aligned} $$
Найдём абсциссу вершины параболы. График функции $f(u)=10^{10}u^2-5000u+(0{,}027)^2$ — парабола.

Абсцисса её вершины находится по формуле $u_0=-\dfrac{b}{2a}$, где $a=10^{10}$, $b=-5000$:
$$ u_0=-\dfrac{-5000}{2\cdot10^{10}}=\dfrac{1}{4000000}. $$
Коэффициент при $u^2$ положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Функция $f(u)$ принимает наименьшее значение в вершине, при $u=\dfrac{1}{4000000}$.

Найденное значение $u$ положительно, то есть допустимо по смыслу задачи.

$3$. Проанализируем функцию $U_L(u)$.

В формуле $U_L(u)=\dfrac{4{,}86}{\sqrt{f(u)}}$ числитель $4{,}86$ — положительная константа, не зависящая от $u$.

Квадратный корень возрастает вместе с подкоренным выражением, поэтому при наименьшем значении $f(u)$ знаменатель $\sqrt{f(u)}$ также принимает наименьшее значение. При неизменном положительном числителе чем меньше положительный знаменатель, тем больше дробь.

Следовательно, при $u=\dfrac{1}{4000000}$ амплитуда $U_L(u)$ принимает наибольшее значение.

$4$. Вернёмся к частоте.
Решим уравнение и отберём корень с учётом условия $\omega>0$:
$$ \frac{1}{\omega^2}=\frac{1}{4000000},\qquad \omega^2=4000000,\qquad \omega=\pm2000 \quad\Rightarrow\quad \omega=2000\ \text{с}^{-1}. $$
Ответ: $2000$.