$1$. Упростим формулу.
Найдём ответ через параметр $n$, считая $k\theta_0>0$. В ходе решения установим, при каких значениях $n$ амплитуда достигает наибольшего значения.
Период волны положителен: $\tau>0$. Поэтому $\tau^2>0$ и $\sqrt{\tau^4}=\tau^2$.
Разделим числитель и знаменатель исходной дроби на $\tau^2$:
$$
A=\frac{\displaystyle\dfrac{k\theta_0\tau^2}{\tau^2}}
{\displaystyle\dfrac{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}{\tau^2}}
\;=\;\frac{k\theta_0}
{\displaystyle\dfrac{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}{\tau^2}}.
$$
В числителе остаётся $k\theta_0$ — положительная константа. В знаменателе внесем множитель под корень:
$$
\begin{aligned}
&\frac{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}{\tau^2}
=\sqrt{\frac{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}{\tau^4}}
=\sqrt{\frac{(T^2-\tau^2)^2}{\tau^4}+\frac{n\tau^2T^2}{\tau^4}}\\[6pt]
&{}=\sqrt{\left(\frac{T^2-\tau^2}{\tau^2}\right)^2+n\frac{T^2}{\tau^2}}
=\sqrt{\left(\frac{T^2}{\tau^2}-1\right)^2+n\frac{T^2}{\tau^2}}.
\end{aligned}
$$
Таким образом, формула для амплитуды примет вид
$$
A=\frac{k\theta_0}{\sqrt{\left(\dfrac{T^2}{\tau^2}-1\right)^2+n\dfrac{T^2}{\tau^2}}}.
$$
Введём замену $u=T^2/\tau^2>0$. Получаем:
$$
A(u)=\frac{k\theta_0}{\sqrt{(u-1)^2+nu}}.
$$
Обозначим подкоренное выражение через $f(u)$:
$$
f(u)=(u-1)^2+nu,\qquad A(u)=\frac{k\theta_0}{\sqrt{f(u)}}.
$$
$2$. Проанализируем функцию $f(u)$.
Допустимы только те значения $u>0$, при которых $f(u)>0$, поскольку $\sqrt{f(u)}$ стоит в знаменателе.
Раскроем квадрат разности:
$$
f(u)=u^2-2\cdot u\cdot1+1^2+nu=u^2-2u+1+nu=u^2+(n-2)u+1.
$$
Найдём абсциссу вершины параболы. График функции $f(u)=u^2+(n-2)u+1$ — парабола.
Абсцисса её вершины находится по формуле $u_0=-\dfrac{b}{2a}$, где $a=1$, $b=n-2$:
$$
u_0=-\dfrac{n-2}{2\cdot1}=\dfrac{2-n}{2}=1-\dfrac{n}{2}.
$$
Коэффициент при $u^2$ положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх.
$3$. Проанализируем параметр $n$.
Чтобы минимум в вершине соответствовал допустимому периоду волны, необходимо $u_0>0$:
$$
1-\frac n2>0\quad\Longleftrightarrow\quad n<2.
$$
Необходимо $f(u_0)>0$, так как $\sqrt{f(u_0)}$ стоит в знаменателе: под корнем нельзя иметь отрицательное число, а делить на ноль нельзя. Вычислим $f(u_0)$:
$$
\begin{aligned}
f(u_0)&=\left(1-\frac n2-1\right)^2+n\left(1-\frac n2\right)
=\frac{n^2}{4}+n-\frac{n^2}{2}\\[6pt]
&=n-\frac{n^2}{4}
=\frac{4n-n^2}{4}
=\frac{n(4-n)}{4}.
\end{aligned}
$$
При $n<2$ имеем $4-n>0$, поэтому
$$
f(u_0)>0\quad\Longleftrightarrow\quad
\frac{n(4-n)}{4}>0\quad\Longleftrightarrow\quad n>0.
$$
Таким образом, получаем $0<n<2$. Далее рассматриваем эти значения параметра: вершина лежит в области $u>0$, а $f(u_0)>0$. Следовательно, функция $f(u)$ принимает наименьшее положительное значение при $u=u_0$.
$4$. Проанализируем функцию $A(u)$.
В формуле $A(u)=\dfrac{k\theta_0}{\sqrt{f(u)}}$ числитель $k\theta_0$ — положительная константа, не зависящая от $u$.
Квадратный корень возрастает вместе с подкоренным выражением, поэтому при наименьшем значении $f(u)$ знаменатель $\sqrt{f(u)}$ также принимает наименьшее значение. При неизменном положительном числителе чем меньше положительный знаменатель, тем больше дробь.
Следовательно, амплитуда $A(u)$ принимает наибольшее значение при $u=1-\dfrac{n}{2}$.
$5$. Вернёмся к периоду волны.
Выше установлено, что $1-\dfrac n2>0$. Так как $T>0$ и $\tau>0$, отношение $T/\tau$ положительно, поэтому при извлечении квадратного корня выбираем положительный корень:
$$
\frac{T^2}{\tau^2}=1-\frac n2,\qquad
\frac{T}{\tau}=\sqrt{1-\frac n2},\qquad
\tau=\frac{T}{\sqrt{1-\frac n2}}.
$$
Преобразуем выражение, заменяя деление на дробь умножением на обратную дробь:
$$
\tau=T\sqrt{\frac{1}{1-\frac n2}}
=T\sqrt{\frac{1}{\dfrac{2-n}{2}}}
=T\sqrt{1\cdot\frac{2}{2-n}}
=T\sqrt{\frac{2}{2-n}}.
$$
Подставим $T=15{,}2$ с:
$$
\tau=15{,}2\sqrt{\frac{2}{2-n}}\ \text{с}.
$$
Ответ: $15{,}2\sqrt{\dfrac{2}{2-n}}$.
