Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

$1$. Упростим формулу.
Период волны положителен: $\tau>0$. Поэтому $\tau^2>0$ и
$\sqrt{\tau^4}=\tau^2$. Разделим числитель и знаменатель исходной дроби на $\tau^2$:
$$ A=\frac{\displaystyle\dfrac{k\theta_0\tau^2}{\tau^2}} {\displaystyle\dfrac{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}{\tau^2}} \;=\;\frac{k\theta_0} {\displaystyle\dfrac{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}{\tau^2}}. $$
В числителе остаётся $k\theta_0$ — положительная константа. В знаменателе внесем множитель под корень:
$$ \begin{aligned} &\frac{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}{\tau^2} =\sqrt{\frac{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}{\tau^4}} =\sqrt{\frac{(T^2-\tau^2)^2}{\tau^4} +\frac{n\tau^2T^2}{\tau^4}}\\[6pt] &{}=\sqrt{\left(\frac{T^2-\tau^2}{\tau^2}\right)^2 +n\frac{T^2}{\tau^2}} =\sqrt{\left(\frac{T^2}{\tau^2}-1\right)^2 +n\frac{T^2}{\tau^2}}. \end{aligned} $$
Таким образом, формула для амплитуды примет вид
$$ A=\frac{k\theta_0} {\sqrt{\left(\dfrac{T^2}{\tau^2}-1\right)^2+n\dfrac{T^2}{\tau^2}}}. $$
Введём замену $u=T^2/\tau^2>0$. Получаем:
$$ A(u)=\frac{k\theta_0}{\sqrt{(u-1)^2+nu}} =\frac{k\theta_0}{\sqrt{(u-1)^2+0{,}1568u}}. $$
Теперь обозначим \emph{подкоренное выражение} через $f(u)$:
$$ f(u)=(u-1)^2+0{,}1568u,\qquad A(u)=\frac{k\theta_0}{\sqrt{f(u)}}. $$
$2$. Проанализируем функцию $f(u)$.
При $u>0$ имеем $f(u)>0$, так как квадрат неотрицателен, а $0{,}1568u>0$.

Раскроем квадрат разности:
$$ \begin{aligned} &f(u)=u^2-2\cdot u\cdot1+1^2+0{,}1568u =u^2-2u+1+0{,}1568u\\[6pt] &{}=u^2+(-2+0{,}1568)u+1 =u^2-1{,}8432u+1. \end{aligned} $$
Найдём абсциссу вершины параболы. График функции $f(u)=u^2-1{,}8432u+1$ — парабола.

Абсцисса её вершины находится по формуле $u_0=-\dfrac{b}{2a}$, где $a=1$, $b=-1{,}8432$:
$$ u_0=-\dfrac{-1{,}8432}{2\cdot1}=\dfrac{1{,}8432}{2}=0{,}9216. $$
Коэффициент при $u^2$ положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Функция $f(u)$ принимает наименьшее значение в вершине, при $u=0{,}9216$.

Найденное значение $u$ положительно, то есть допустимо по смыслу задачи.

$3$. Проанализируем функцию $A(u)$.

В формуле $A(u)=\dfrac{k\theta_0}{\sqrt{f(u)}}$ числитель $k\theta_0$ — положительная константа, не зависящая от $u$.

Квадратный корень возрастает вместе с подкоренным выражением, поэтому при наименьшем значении $f(u)$ знаменатель $\sqrt{f(u)}$ также принимает наименьшее значение. При неизменном положительном числителе чем меньше положительный знаменатель, тем больше дробь.

Следовательно, при $u=0{,}9216$ амплитуда $A(u)$ принимает наибольшее значение.

$4$. Вернёмся к периоду волны.
$$ \frac{24^2}{\tau^2}=0{,}9216=(0{,}96)^2. $$
Так как $\tau>0$, извлекаем положительный квадратный корень:
$$ \frac{24}{\tau}=0{,}96,\qquad \tau=\frac{24}{0{,}96}=25\ \text{с}. $$
Ответ: $25$.