Оптимизация — задача ЕГЭ по профильной математике

$1$. Выделим постоянный множитель.
Скорость неотрицательна: $v\geqslant0$.

Обозначим положительную константу, не зависящую от $v$:
$$ B=4\pi\left(\frac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac32}>0,\qquad f(v)=Bv^2\mathrm{e}^{-\frac{Mv^2}{2RT}}. $$
В расчёте используем значение $M=0{,}004$ кг/моль, указанное в условии.

$2$. Вычислим производную.
При положительном значении переменной используем правило производной произведения и правило производной сложной функции:
$$ (fg)'=f'g+fg',\qquad (\mathrm{e}^{h(v)})'=\mathrm{e}^{h(v)}h'(v). $$
$$ \begin{aligned} f'(v)&=B\left(v^2\mathrm{e}^{-\frac{Mv^2}{2RT}}\right)' =B\left((v^2)'\mathrm{e}^{-\frac{Mv^2}{2RT}}+v^2\left(\mathrm{e}^{-\frac{Mv^2}{2RT}}\right)'\right)\\[6pt] &=B\left(2ve^{-\frac{Mv^2}{2RT}}+v^2\mathrm{e}^{-\frac{Mv^2}{2RT}}\left(-\frac{Mv^2}{2RT}\right)'\right) =B\left(2ve^{-\frac{Mv^2}{2RT}}-v^2\mathrm{e}^{-\frac{Mv^2}{2RT}}\frac{2Mv}{2RT}\right)\\[6pt] &=B \mathrm{e}^{-\frac{Mv^2}{2RT}}\left(2v-\frac{Mv^3}{RT}\right) =Bve^{-\frac{Mv^2}{2RT}}\frac{2RT-Mv^2}{RT}. \end{aligned} $$
При $v>0$ множитель $Bve^{-Mv^2/(2RT)}$ и знаменатель положительны.
Поэтому знак производной определяется выражением $2RT-Mv^2$:
$$ 2RT-Mv^2=0,\qquad v^2=\frac{2RT}{M},\qquad v=\pm\sqrt{\frac{2RT}{M}}. $$
Так как $v>0$, отрицательный корень не подходит. Обозначим положительный корень через $v_0=\sqrt{\dfrac{2RT}{M}}$.
Исследуем знак производной методом интервалов:



Значение $v=0$ мы ещё не исследовали, так как знак производной рассматривали только при $v>0$. Из формулы функции видно, что $f(0)=0$, а при $v>0$ все множители положительны, поэтому $f(v)>0$. Значит, значение функции при $v=0$ меньше её значений при $v>0$, и в точке $v=0$ максимум не достигается.

Следовательно, максимум достигается при $v=v_0$.

$3$. Вычислим скорость.
Подставим $T=500$ К и $M=0{,}004$ кг/моль:
$$ \begin{aligned} v_0&=\sqrt{\frac{2R\cdot500}{0{,}004}} =\sqrt{\frac{2R\cdot500}{\dfrac{2}{500}}} =\sqrt{2R\cdot500\cdot\frac{500}{2}}\\[6pt] &=\sqrt{500^2R} =500\sqrt R\ \text{м/с}. \end{aligned} $$
Ответ: $500\sqrt R$.