Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=x^{2} + 13 x - 3 \left|{x + 7}\right| + 42.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x+7=0 \Rightarrow x=-7

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<-7

, тогда

|x+7|=-(x+7)

.
Получаем

y=x^{2} + 16 x + 63

.

Случай

2

x\geqslant -7

, тогда

|x+7|=x+7

.
Получаем

y=x^{2} + 10 x + 21

.

Таким образом:

y=\begin{cases}x^{2} + 16 x + 63, & x<-7,\\x^{2} + 10 x + 21, & x\geqslant -7.\end{cases}

В граничной точке

x=-7

проверим значения обеих формул:

y_1(-7)=(-7)^{2} + 16\cdot (-7) + 63=0,\qquad y_2(-7)=(-7)^{2} + 10\cdot (-7) + 21=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(-7; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=x^{2} + 16 x + 63

имеем

a=1

b=16

c=63

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{16}{2\cdot(1)}=-8.

y_0=1\cdot(-8)^2+16\cdot(-8)+63=-1.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-8; -1)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=x^{2} + 10 x + 21

имеем

a=1

b=10

c=21

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{10}{2\cdot(1)}=-5.

y_0=1\cdot(-5)^2+10\cdot(-5)+21=-4.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-5; -4)

.

Таблица значений для правой ветви:

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей.

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно три общие точки при

m \in \{-1\} \cup\{0\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи